1
00:00:04,200 --> 00:00:06,800
На протяжении всей истории
человечество изо всех сил
2
00:00:06,840 --> 00:00:11,400
стремилось к пониманию фундаментальных
законов материального мира.
3
00:00:11,440 --> 00:00:16,200
Мы пытались найти правила и модели,
которые определяют свойства
4
00:00:16,240 --> 00:00:21,840
объектов, что окружают нас, их сложную
взаимосвязь с нами и друг с другом.
5
00:00:23,160 --> 00:00:27,800
Вот уже более тысячи лет
прошло с тех пор, как мир
определил ту самую дисциплину,
6
00:00:27,840 --> 00:00:31,320
что более всех остальных позволяет
в некоторой степени познать
7
00:00:31,360 --> 00:00:34,760
основополагающие реалии
физического мира.
8
00:00:34,800 --> 00:00:37,960
Эта дисциплина - математика.
9
00:00:38,000 --> 00:00:41,520
Меня зовут Маркус Дю Сотой,
и я математик.
10
00:00:41,560 --> 00:00:46,200
Я ищу систему, выслеживаю скрытые
структуры,
11
00:00:46,240 --> 00:00:51,240
которые лежат в основе кажущегося хаоса
и сложности окружающего нас мира.
12
00:00:52,720 --> 00:00:57,960
В процессе поиска модели и системы
я опирался на работы
великих математиков,
13
00:00:58,000 --> 00:01:02,240
работавших до меня, людей,
принадлежавших различным
культурным слоям по всему миру,
14
00:01:02,280 --> 00:01:06,680
чьи идеи создали язык,
на котором написана вселенная.
15
00:01:06,720 --> 00:01:12,400
Я бы хотел взять вас в путешествие
сквозь время и пространство
и проследить путь развития математики
16
00:01:12,440 --> 00:01:16,680
от момента пробуждения до замысловатой
науки, какой она является сегодня.
17
00:01:17,840 --> 00:01:20,880
Используя компьютерную графику,
мы проанализируем
18
00:01:20,920 --> 00:01:24,680
первые открытия, которые позволили
ранним цивилизациям
19
00:01:24,720 --> 00:01:28,400
понять окружающий мир,
мысля математически.
20
00:01:28,440 --> 00:01:31,360
Это история математики.
21
00:01:38,200 --> 00:01:49,298
BBC: The Story of Maths /
История Математики
e01 The Language of the Universe /
Язык Вселенной
русские субтитры TrueTransLate.tv
22
00:01:50,920 --> 00:01:54,840
Наш мир создан из моделей
и последовательностей.
23
00:01:54,880 --> 00:01:57,160
Они окружают нас.
24
00:01:57,200 --> 00:01:59,640
День сменяет ночь.
25
00:01:59,680 --> 00:02:04,640
Животные распространяются
по всей планете в вечно меняющихся
формациях.
26
00:02:04,680 --> 00:02:08,600
Природные ландшафты постоянно меняются.
27
00:02:08,640 --> 00:02:12,440
Одной из причин возникновения математики
была необходимость
28
00:02:12,480 --> 00:02:15,440
понять значение
всех этих природных моделей.
29
00:02:18,480 --> 00:02:22,960
Самые основные понятия математики -
расстояние и количество -
30
00:02:23,000 --> 00:02:26,960
с момента рождения существуют
в нашем сознании.
31
00:02:27,000 --> 00:02:29,960
Даже у животных есть
понятие расстояния и числа,
32
00:02:30,000 --> 00:02:35,880
когда нужно оценить, стоит ли вступать
в битву с враждебной стаей,
или их слишком много, и надо бежать.
33
00:02:35,920 --> 00:02:40,600
Или подсчитать, находится ли добыча
на расстоянии атаки.
34
00:02:40,640 --> 00:02:45,880
Элементарная математика могла
определять - жить тебе или умереть.
35
00:02:47,040 --> 00:02:49,920
Но именно человек принял
эти базовые понятия
36
00:02:49,960 --> 00:02:52,520
и стал основываться
на этих математических принципах.
37
00:02:52,560 --> 00:02:55,640
В какой-то момент
люди стали определять модели,
38
00:02:55,680 --> 00:02:59,440
чтобы установить взаимосвязь,
сосчитать и упорядочить мир вокруг себя.
39
00:02:59,480 --> 00:03:04,480
Вследствие чего начала вырисовываться
абсолютно новая, математическая вселенная.
40
00:03:11,000 --> 00:03:12,720
Это река Нил.
41
00:03:12,760 --> 00:03:15,560
Она давала жизнь Египту
на протяжении тысячелетий.
42
00:03:17,000 --> 00:03:19,880
Я прибыл сюда, потому что здесь
появились первые символы
43
00:03:19,920 --> 00:03:23,320
зарождения математики, насколько нам
известно на сегодняшний день.
44
00:03:25,240 --> 00:03:30,560
Люди оставили кочевой образ жизни
и стали обосновываться здесь
еще с 6000 года до н.э.
45
00:03:30,600 --> 00:03:34,640
Условия идеально подходили
для сельского хозяйства.
46
00:03:37,960 --> 00:03:43,880
Одним из важнейших событий
для земледелия египтян
был ежегодный разлив Нила.
47
00:03:43,920 --> 00:03:49,480
Этот день в Египте считался
и первым днем наступившего нового года.
48
00:03:49,520 --> 00:03:53,760
Египтяне записывали все,
что происходило в течении года,
49
00:03:53,800 --> 00:03:56,240
так что, для того,
чтобы создать подобный календарь,
50
00:03:56,280 --> 00:03:59,720
нужно посчитать сколько дней, например,
51
00:03:59,760 --> 00:04:02,440
прошло между фазами Луны,
52
00:04:02,480 --> 00:04:08,640
или сколько дней прошло
между двумя разливами Нила.
53
00:04:10,240 --> 00:04:13,960
Ведение записей о характерных признаках
времен года было весьма важным
54
00:04:14,000 --> 00:04:17,800
не только для их земледелия,
но и в религиозных обрядах.
55
00:04:17,840 --> 00:04:20,960
Древние египтяне,
обосновавшиеся по берегам Нила,
56
00:04:21,000 --> 00:04:25,360
верили в речного бога Хапи,
который ежегодно переполнял водой реку.
57
00:04:25,400 --> 00:04:28,200
И в благодарность дающей жизнь воде
58
00:04:28,240 --> 00:04:32,600
жители приносили в жертву часть урожая.
59
00:04:33,840 --> 00:04:38,680
По мере расширения поселения
возникла необходимость в его управлении.
60
00:04:38,720 --> 00:04:42,960
Площади поселения нуждались в подсчете,
урожайность - в прогнозировании,
61
00:04:43,000 --> 00:04:45,280
налоги - в предписании и сборе.
62
00:04:45,320 --> 00:04:49,040
Короче говоря, людям понадобилось
считать и измерять.
63
00:04:50,600 --> 00:04:53,560
Египтяне использовали собственное тело,
чтобы измерить окружающий их мир,
64
00:04:53,600 --> 00:04:56,600
и именно здесь появляются
единицы измерения.
65
00:04:56,640 --> 00:04:59,000
Пальма была толщиной с руку,
66
00:04:59,040 --> 00:05:03,640
то есть в длину руки
от локтя до пальцев.
67
00:05:03,680 --> 00:05:07,080
Земельный локоть,
отмеряющий 100 локтей,
68
00:05:07,120 --> 00:05:10,440
использовался землемерами фараонов
для подсчета площадей.
69
00:05:13,680 --> 00:05:16,880
Существует строгая взаимосвязь
между бюрократией
70
00:05:16,920 --> 00:05:20,120
и развитием математики
в древнем Египте.
71
00:05:20,160 --> 00:05:23,080
И мы можем проследить
эту связь с самого начала,
72
00:05:23,120 --> 00:05:25,400
от изобретения счетной системы,
73
00:05:25,440 --> 00:05:28,200
через всю историю Египта, серьезно.
74
00:05:28,240 --> 00:05:30,680
У нас есть единственное
подтверждение этой связи,
относящееся к периоду Древнего царства,
75
00:05:30,720 --> 00:05:34,720
это существование метрологических
систем, то есть, систем измерения
площадей и длин.
76
00:05:34,760 --> 00:05:41,280
Их существование указывает
на бюрократическую необходимость
в развитии методов таких измерений.
77
00:05:41,320 --> 00:05:46,520
Было жизненно важно знать площадь
возделываемой земли, чтобы собрать
с её хозяина соответствующий налог.
78
00:05:46,560 --> 00:05:51,440
Или, чтобы в случае её уменьшения
из-за разлива Нила, хозяин мог просить
об уменьшении налога.
79
00:05:51,480 --> 00:05:54,400
Это означает, что землемеры фараона
часто занимались вычислениями
80
00:05:54,440 --> 00:05:57,960
площадей земельных участков
неправильной формы.
81
00:05:58,000 --> 00:06:00,640
Именно потребность в решении
таких прикладных задач
82
00:06:00,680 --> 00:06:04,840
позволила им стать пионерами
в области математики.
83
00:06:09,560 --> 00:06:13,520
Древним египтянам был нужен
какой-нибудь способ записи
результатов своих вычислений.
84
00:06:15,760 --> 00:06:20,320
Среди всех этих иероглифов,
покрывающих разбросанные по всему Каиру
сувениры для туристов,
85
00:06:20,360 --> 00:06:25,520
я охотился за теми из них,
которые обозначали числа,
одни из первых в истории.
86
00:06:25,560 --> 00:06:29,280
Их было трудно выследить.
87
00:06:30,480 --> 00:06:33,240
Но в конце концов я их нашел.
88
00:06:36,360 --> 00:06:41,600
10 пальцев на наших руках были
причиной использования древними
египтянами десятичной системы.
89
00:06:41,640 --> 00:06:44,160
Единица обозначалась чертой,
90
00:06:44,200 --> 00:06:50,040
число 10 обозначалось
иероглифом "пятка",
100 - "петля верёвки", а 1000 - "лотос".
91
00:06:50,080 --> 00:06:52,320
Сколько стоит эта футболка?
92
00:06:52,360 --> 00:06:54,040
25 египетских фунтов.
93
00:06:54,080 --> 00:06:59,840
- Двадцать пять?
- Да.
- Значит это будет 2 пятки и 5 черт.
94
00:06:59,880 --> 00:07:03,200
- Значит, вы не будете
загибать цену до сюда?
- Вот до сюда - один миллион!
95
00:07:03,240 --> 00:07:05,240
- Один миллион?
- О Боже!
96
00:07:05,280 --> 00:07:07,640
Вот это - один миллион.
97
00:07:07,680 --> 00:07:09,680
Один миллион,
да, это действительно много!
98
00:07:11,080 --> 00:07:16,520
Иероглифы прекрасны,
но числовая система древних египтян
имела существенный изъян.
99
00:07:18,160 --> 00:07:21,640
У них не было понятия числового разряда,
100
00:07:21,680 --> 00:07:24,120
так что одним иероглифом "черта"
можно было изобразить лишь единицу,
101
00:07:24,160 --> 00:07:25,840
но не сотню и не тысячу.
102
00:07:25,880 --> 00:07:28,880
И, хотя эта система позволяет записать
миллион всего одним символом
103
00:07:28,920 --> 00:07:33,160
вместо семи символов в привычной записи,
для записи числа "миллион минус один"
104
00:07:33,200 --> 00:07:36,600
бедному старому древнеегипетскому писцу
понадобились бы 9 иероглифов "черта",
105
00:07:36,640 --> 00:07:39,760
9 "пяток", 9 "петель верёвки",
и так далее,
106
00:07:39,800 --> 00:07:42,320
всего 54 символа.
107
00:07:44,760 --> 00:07:49,920
Несмотря на этот недостаток
числовой системы, древние египтяне
превосходно решали задачи.
108
00:07:51,960 --> 00:07:55,920
Нам это известно благодаря
немногим сохранившимся записям.
109
00:07:55,960 --> 00:07:58,920
Египетские писцы
использовали листы папируса
110
00:07:58,960 --> 00:08:02,320
для записи математических открытий.
111
00:08:02,360 --> 00:08:06,120
Этот хрупкий, сделанный из тростника
материал со временем разлагался
112
00:08:06,160 --> 00:08:09,400
и уносил с собой в небытие
много секретов древности.
113
00:08:09,440 --> 00:08:13,520
Но один из раскрывающих такие секреты
документов уцелел.
114
00:08:13,560 --> 00:08:17,360
Математический папирус Райнда
является самым важным документом
115
00:08:17,400 --> 00:08:20,160
о древнеегипетской математике
из тех, что сохранились.
116
00:08:20,200 --> 00:08:24,360
Он дал нам исчерпывающее представление
о том, с какими видами задач
117
00:08:24,400 --> 00:08:28,320
приходилось сталкиваться
древним египтянам в их математике.
118
00:08:28,360 --> 00:08:33,800
Там есть подробное описание
того, как производились операции
умножения и деления.
119
00:08:35,560 --> 00:08:39,800
В папирусах показано,
как перемножить два больших числа.
120
00:08:39,840 --> 00:08:44,320
Но для иллюстрации этого метода
мы возьмём два числа поменьше.
121
00:08:44,360 --> 00:08:46,880
Давайте перемножим 3 и 6.
122
00:08:46,920 --> 00:08:50,480
Писец должен взять первое число, три,
и расположить его в одном столбце.
123
00:08:52,800 --> 00:08:55,960
Во втором столбце он должен
поместить число один.
124
00:08:56,000 --> 00:09:00,720
Затем ему нужно удваивать числа
в каждом столбце, так что тройка
становится шестёркой...
125
00:09:04,320 --> 00:09:06,360
а 6 становится числом 12.
126
00:09:10,800 --> 00:09:14,480
Затем во втором столбце
единица становится двойкой,
127
00:09:14,520 --> 00:09:16,040
а двойка становится четвёркой.
128
00:09:18,760 --> 00:09:21,160
А теперь по-настоящему умный трюк.
129
00:09:21,200 --> 00:09:24,160
Писец хочет перемножить 3 на 6.
130
00:09:24,200 --> 00:09:27,680
Поэтому он выбирает во втором столбце
такие степени двойки,
131
00:09:27,720 --> 00:09:31,400
которые в сумме дают шесть.
Это два плюс четыре.
132
00:09:31,440 --> 00:09:34,320
Затем он возвращается к первому столбцу
и просто выбирает
133
00:09:34,360 --> 00:09:37,240
те ряды, которые соответствуют
двойке и четвёрке.
134
00:09:37,280 --> 00:09:38,880
Это числа 6 и 12.
135
00:09:38,920 --> 00:09:43,720
Он их складывает
и получает в ответе 18.
136
00:09:43,760 --> 00:09:47,560
Для меня наиболее поразительным
в этом методе
137
00:09:47,600 --> 00:09:51,520
является то, что писец фактически
разложил второе из чисел
в двоичной системе.
138
00:09:51,560 --> 00:09:56,520
Разложение шестёрки
это единица в разряде четвёрок,
единица в разряде двоек
и пусто в разряде единиц.
139
00:09:56,560 --> 00:09:59,120
То есть, 1-1-0.
140
00:09:59,160 --> 00:10:03,400
Египтяне поняли значение двоичной системы
счисления на три с лишним тысячи лет
141
00:10:03,440 --> 00:10:07,360
ранее математика и философа
Лейбница, которому ещё только предстоит
раскрыть её потенциал.
142
00:10:07,400 --> 00:10:11,680
Сегодня весь мир технологий
основан на тех же принципах,
143
00:10:11,720 --> 00:10:14,560
которые использовались в Древнем Египте.
144
00:10:16,400 --> 00:10:21,960
Папирус Райнда был написан писцом
по имени Ахмес примерно
в 1650 году до н.э.
145
00:10:22,000 --> 00:10:26,840
Задачи из этого папируса
посвящены разрешению ситуаций,
возникающих ежедневно.
146
00:10:26,880 --> 00:10:29,960
В нескольких задачах
упоминаются хлеб и пиво,
147
00:10:30,000 --> 00:10:33,720
что не удивительно, ведь рабочим
в Древнем Египте платили едой и питьём.
148
00:10:33,760 --> 00:10:37,160
Одна из них о том, как разделить
девять лепёшек
149
00:10:37,200 --> 00:10:41,640
поровну между десятью людьми,
не вызвав при этом драки.
150
00:10:41,680 --> 00:10:43,760
У меня здесь девять лепёшек.
151
00:10:43,800 --> 00:10:47,560
Я возьму пять из них
и разрежу их пополам.
152
00:10:48,640 --> 00:10:51,320
Конечно, девять человек могли отрезать
по десятой части от своей лепёшки
153
00:10:51,360 --> 00:10:54,720
и отдать эту кучу обрезков
десятому человеку.
154
00:10:54,760 --> 00:10:58,560
Но египтяне придумали
куда более элегантное решение.
155
00:10:58,600 --> 00:11:02,240
Возьмём остальные четыре лепёшки
и разделим каждую из них на три части.
156
00:11:03,840 --> 00:11:07,320
Но две из них я собираюсь
сейчас разрезать на пять кусков так,
157
00:11:07,360 --> 00:11:09,760
что каждый такой кусок составит
пятнадцатую часть лепёшки.
158
00:11:12,560 --> 00:11:17,000
После чего каждый человек
получает одну половину,
159
00:11:17,040 --> 00:11:19,120
одну треть
160
00:11:19,160 --> 00:11:22,840
и одну пятнадцатую лепёшки.
161
00:11:22,880 --> 00:11:25,760
Именно в этих, казалось бы,
практических задачах
162
00:11:25,800 --> 00:11:29,320
мы видим первые проблески развития
более абстрактной математики.
163
00:11:29,360 --> 00:11:32,040
Неожиданно на сцене появляются
новые числа - дроби,
164
00:11:32,080 --> 00:11:37,440
и уже вскоре древние египтяне
займутся изучением математики этих чисел.
165
00:11:39,440 --> 00:11:44,840
Понятие о дроби необходимо на практике,
например, тем, кто, торгуя на рынке,
постоянно делит свой товар.
166
00:11:44,880 --> 00:11:51,640
Чтобы вести учёт таких сделок,
египтяне придумали обозначения
для записи этих новых чисел.
167
00:11:53,200 --> 00:11:56,320
Одно из наиболее ранних
обозначений таких дробей
168
00:11:56,360 --> 00:12:00,000
произошло от иероглифа,
имевшего большой мистический смысл.
169
00:12:00,040 --> 00:12:03,640
Он назывался Глаз Хора.
170
00:12:03,680 --> 00:12:08,760
Хор в эпоху Древнего Царства
был богом, изображаемым наполовину
человеком - наполовину соколом.
171
00:12:10,720 --> 00:12:15,520
Согласно легенде, отец Хора был убит
другим своим сыном, Сетом.
172
00:12:15,560 --> 00:12:18,720
Хор решил отомстить убийце.
173
00:12:18,760 --> 00:12:21,400
В одном чрезвычайно жестоком сражении
174
00:12:21,440 --> 00:12:26,360
Сет вырвал у Хора глаз, разорвал его
на части и разбросал их по Египту.
175
00:12:26,400 --> 00:12:29,560
Но боги были благосклонны к Хору.
176
00:12:29,600 --> 00:12:33,280
Они собрали разбросанные куски
и восстановили глаз.
177
00:12:36,320 --> 00:12:40,120
Каждая часть глаза
изображает свою дробь.
178
00:12:40,160 --> 00:12:43,040
Каждая следующая из этих дробей
является половиной предыдущей.
179
00:12:43,080 --> 00:12:46,640
Хотя исходное изображение глаза
обозначает целое,
180
00:12:46,680 --> 00:12:50,440
сумма дробей, изображаемых всеми
его частями, меньше целого на 1/64.
181
00:12:50,480 --> 00:12:54,480
И хотя египтяне остановились на 1/64,
182
00:12:54,520 --> 00:12:56,560
в этом изображении подразумевается
183
00:12:56,600 --> 00:12:59,280
возможность добавления других дробей,
184
00:12:59,320 --> 00:13:03,760
уменьшаемых с каждым шагом вдвое.
При этом их сумма приближается
к единице всё ближе и ближе,
185
00:13:03,800 --> 00:13:06,960
но никогда её не достигает.
186
00:13:07,000 --> 00:13:10,880
Это первый намёк на понятие,
называемое геометрической прогрессией,
187
00:13:10,920 --> 00:13:14,400
и он повторяется в нескольких
местах папируса Райнда.
188
00:13:14,440 --> 00:13:17,400
Но понятие бесконечного ряда
останется скрытым,
189
00:13:17,440 --> 00:13:21,600
пока математики Азии не откроют
его столетия спустя.
190
00:13:24,720 --> 00:13:28,840
После разработки системы чисел,
включающей эти новые дроби,
191
00:13:28,880 --> 00:13:31,720
для египтян настало время
применить свои знания
192
00:13:31,760 --> 00:13:35,360
для понимания форм,
с которыми они сталкивались каждый день.
193
00:13:35,400 --> 00:13:39,400
Эти формы редко были правильными -
квадратами или прямоугольниками,
194
00:13:39,440 --> 00:13:44,160
вот и в папирусе Райнда мы видим область
более естественной формы - круглой.
195
00:13:44,200 --> 00:13:48,480
Что поражает в этих вычислениях
196
00:13:48,520 --> 00:13:51,440
площади круга, так это их точность.
197
00:13:51,480 --> 00:13:55,360
Нам остаётся лишь строить догадки,
как они придумали свой метод вычислений,
198
00:13:55,400 --> 00:13:57,440
ведь имеющиеся у нас тексты
199
00:13:57,480 --> 00:14:01,040
об этом не сообщают.
200
00:14:01,080 --> 00:14:05,120
Эти вычисления особенно интересны,
поскольку они проистекают
201
00:14:05,160 --> 00:14:07,080
из взглядов на то, как форма круга
202
00:14:07,120 --> 00:14:11,800
может быть приближена формами,
уже исследованными в Древнем Египте.
203
00:14:11,840 --> 00:14:14,920
Папирус Райнда утверждает,
что круглое поле
204
00:14:14,960 --> 00:14:17,480
диаметром девять единиц
205
00:14:17,520 --> 00:14:20,960
имеет площадь, близкую к площади
квадрата со стороной восемь единиц.
206
00:14:21,000 --> 00:14:24,760
Но как было найдено это соотношение?
207
00:14:24,800 --> 00:14:30,160
Мне ближе теория, которая ищет
ответ в древней игре "манкала".
208
00:14:30,200 --> 00:14:34,320
Резные изображения досок для игры
манкала были найдены на сводах храмов.
209
00:14:34,360 --> 00:14:37,880
Каждый игрок начинает
с одинаковым количеством камней,
210
00:14:37,920 --> 00:14:40,920
смысл же игры в том,
чтобы перекладывая камни по кругу,
211
00:14:40,960 --> 00:14:44,040
попутно захватывать камни соперника.
212
00:14:45,040 --> 00:14:48,840
Поскольку игроки сидели кругом,
ожидая своего следующего хода,
213
00:14:48,880 --> 00:14:52,360
возможно, один из них понял, что порой
шарики заполняют круглые отверстия
214
00:14:52,400 --> 00:14:54,560
игровой доски наиболее плотно.
215
00:14:54,600 --> 00:14:59,680
Возможно, он начал экспериментировать,
составляя круги большего размера.
216
00:14:59,720 --> 00:15:04,240
Он мог заметить, что 64 камня,
образующие квадрат со стороной 8,
217
00:15:04,280 --> 00:15:08,040
можно расположить в виде круга
с диаметром в девять камней.
218
00:15:08,080 --> 00:15:13,560
Перестановкой камней круг был приближено
составлен из частей квадрата.
219
00:15:13,600 --> 00:15:16,720
А раз площадь круга в пи раз
больше квадрата своего радиуса,
220
00:15:16,760 --> 00:15:21,600
то расчет египтян дает нам первое точное
значение числа пи.
221
00:15:21,640 --> 00:15:26,600
Площадь круга составляет 64.
Разделите это число на квадрат радиуса,
222
00:15:26,640 --> 00:15:30,640
в данном случае 4,5 в квадрате,
и вы получите значение числа пи.
223
00:15:30,680 --> 00:15:35,400
Итак, 64 разделенное на 4,5 в квадрате
дает число 3,16,
224
00:15:35,440 --> 00:15:38,720
всего лишь на две сотые отличающееся
от его истинного значения.
225
00:15:38,760 --> 00:15:41,880
Но по-настоящему восхищает
здесь то, что египтяне
226
00:15:41,920 --> 00:15:45,080
используют эти малые части
для изучения свойств целого.
227
00:15:49,720 --> 00:15:52,680
Вот он - грандиозный и величественный
символ египетской математики,
228
00:15:52,720 --> 00:15:55,680
который мы ещё пока
и не пытались разгадать -
229
00:15:55,720 --> 00:15:57,920
пирамида.
230
00:15:57,960 --> 00:16:02,800
Я видел уже так много её фотографий,
что, казалось, они уже не могут
меня поразить.
231
00:16:02,840 --> 00:16:06,320
Но, встретившись с ними лицом к лицу,
понимаешь почему в Древнем мире
232
00:16:06,360 --> 00:16:08,800
их назвали одним из Семи Чудес света.
233
00:16:08,840 --> 00:16:11,040
Они просто бесподобны!
234
00:16:11,080 --> 00:16:14,360
И насколько более глубокое впечатление
они, должно быть, производили тогда,
235
00:16:14,400 --> 00:16:19,400
когда их стены были гладкими
как стекло и сверкали на солнце.
236
00:16:19,440 --> 00:16:24,960
Порой мне кажется,
что под поверхностью пустыни скрываются
зеркальные отражения пирамид,
237
00:16:25,000 --> 00:16:29,240
дополняющие их форму
до правильного октаэдра.
238
00:16:29,280 --> 00:16:34,600
Иногда в пустынном мареве можно
даже углядеть его очертания.
239
00:16:36,160 --> 00:16:43,440
Именно идея симметрии, сокрытая
в таких формах, делает их столь
привлекательными для математиков.
240
00:16:43,480 --> 00:16:47,720
От пирамиды всего один шаг
до создания этих идеальных форм,
241
00:16:47,760 --> 00:16:50,920
но кто-то увидел и другое важное
математическое понятие,
242
00:16:50,960 --> 00:16:56,880
скрытое в пропорциях Великой пирамиды -
золотое сечение.
243
00:16:56,920 --> 00:17:01,640
Две длины образуют золотое сечение,
если отношение большей из них к меньшей
244
00:17:01,680 --> 00:17:06,920
такое же, как отношение
их суммы к большей длине.
245
00:17:06,960 --> 00:17:11,600
С таким соотношением связано
много идеальных пропорций,
246
00:17:11,640 --> 00:17:15,600
как в природе, так и в мировых шедеврах
247
00:17:15,640 --> 00:17:18,480
живописи и архитектуры.
248
00:17:22,360 --> 00:17:26,760
Были ли архитекторы пирамид
знакомы с этим понятием,
249
00:17:26,800 --> 00:17:32,440
или же пришли к нему, инстинктивно
следуя эстетическому восприятию,
мы никогда уже не узнаем.
250
00:17:32,480 --> 00:17:36,800
Мне кажется, что самое впечатляющее
в пирамидах - это математический талант
251
00:17:36,840 --> 00:17:40,360
их творцов, впервые использовавших идею
252
00:17:40,400 --> 00:17:44,400
одной из величайших теорем
Древнего мира - теоремы Пифагора.
253
00:17:45,960 --> 00:17:48,920
Чтобы добиться идеальных прямых углов
при строительстве пирамид и иных зданий,
254
00:17:48,960 --> 00:17:54,080
египтяне воспользовались бы верёвкой
с завязанными на ней узлами.
255
00:17:54,120 --> 00:17:57,960
В какой-то момент египтяне осознали,
что если взять треугольник
с длинами сторон
256
00:17:58,000 --> 00:18:05,400
в три, четыре и пять равных промежутков
между узлами, то получится
идеальный прямой угол.
257
00:18:05,440 --> 00:18:09,880
Так получается потому, что 32+42=52.
258
00:18:09,920 --> 00:18:12,600
Значит, этот египетский треугольник -
прямоугольный.
259
00:18:14,960 --> 00:18:20,720
На самом деле любой треугольник,
длины которого связаны между собой
таким равенством, будет прямоугольным.
260
00:18:20,760 --> 00:18:23,360
Но я почти уверен,
что египтяне не додумались
261
00:18:23,400 --> 00:18:28,240
до такого серьезного
обобщения своего треугольника.
262
00:18:28,280 --> 00:18:32,000
Вряд ли нам удастся найти общее
доказательство этой теоремы,
263
00:18:32,040 --> 00:18:35,480
ведь это не в духе
древнеегипетской математики.
264
00:18:35,520 --> 00:18:39,080
У них каждая задача решалась
в конкретных числах,
265
00:18:39,120 --> 00:18:43,520
и если затем проводилась проверка,
266
00:18:43,560 --> 00:18:45,480
то также для этих конкретных
заданных чисел.
267
00:18:45,520 --> 00:18:49,200
В древнеегипетских математических текстах
общих доказательств не встречается.
268
00:18:50,760 --> 00:18:53,840
Потребуется ещё 2000 лет,
прежде чем греки и Пифагор
269
00:18:53,880 --> 00:18:59,040
докажут, что длины сторон
любого прямоугольного треугольника
связаны этим равенством.
270
00:18:59,080 --> 00:19:03,400
Это была не единственная математическая
идея, предвосхищенная египтянами.
271
00:19:03,440 --> 00:19:09,920
В документе 4000-летней давности
под названием "Московский папирус"
есть формула объёма
272
00:19:09,960 --> 00:19:15,880
усечённой пирамиды, которая указывает
на первое практическое применение идей,
на которых основан математический анализ.
273
00:19:15,920 --> 00:19:22,680
От известной своими пирамидами
древнеегипетской цивилизации
можно ожидать, что такие задачи
274
00:19:22,720 --> 00:19:26,320
часто встречались
в математических текстах.
275
00:19:26,360 --> 00:19:31,040
Вычисление объёма усечённой пирамиды -
одно из самых серьёзных,
276
00:19:31,080 --> 00:19:36,240
по современным меркам, достижений
277
00:19:36,280 --> 00:19:38,840
древнеегипетской математики.
278
00:19:38,880 --> 00:19:42,880
Архитекторы и инженеры несомненно
нуждались в такой формуле для того,
279
00:19:42,920 --> 00:19:46,520
чтобы вычислить количество
необходимых для постройки материалов.
280
00:19:46,560 --> 00:19:48,760
Но сам изящный метод её доказательства
281
00:19:48,800 --> 00:19:53,520
говорит о высоком уровне изобретательности
древнеегипетских математиков.
282
00:19:59,560 --> 00:20:03,520
Чтобы понять, как им удалось
вывести эту формулу,
рассмотрим для начала такую пирамиду,
283
00:20:03,560 --> 00:20:08,240
вершина которой проецируется
в одну из вершин основания.
284
00:20:08,280 --> 00:20:12,840
Из трёх таких пирамид можно собрать
прямоугольный параллелепипед,
285
00:20:12,880 --> 00:20:18,000
поэтому объём косой пирамиды составляет
треть объёма параллелепипеда.
286
00:20:18,040 --> 00:20:24,040
То есть, он равен произведению высоты,
длины и ширины, делённому на три.
287
00:20:24,080 --> 00:20:29,080
А дальше следует рассуждение,
в котором впервые используются
методы математического анализа,
288
00:20:29,120 --> 00:20:35,080
ещё за тысячи лет до того,
как Готфрид Лейбниц и Исаак Ньютон
заложили основы его теории.
289
00:20:35,120 --> 00:20:39,400
Предположим, что вам удалось
разрезать пирамиду на слои,
тогда можно их сдвинуть так,
290
00:20:39,440 --> 00:20:44,720
чтобы придать пирамиде симметричную
форму, которую можно наблюдать в Гизе.
291
00:20:44,760 --> 00:20:49,480
Объём пирамиды при таких сдвигах
не меняется.
292
00:20:49,520 --> 00:20:51,880
Поэтому применима та же
формула для расчета объёма.
293
00:20:55,160 --> 00:20:58,640
Древние египтяне
были удивительными изобретателями,
294
00:20:58,680 --> 00:21:01,840
их способность создавать новые разделы
математики просто поражает.
295
00:21:01,880 --> 00:21:07,080
Я считаю, что именно они впервые
раскрыли возможности геометрии и чисел,
296
00:21:07,120 --> 00:21:11,520
а также сделали первые шаги
к некоторым из грядущих
удивительных математических открытий.
297
00:21:11,560 --> 00:21:15,720
Но была ещё одна цивилизация,
развившая математику, достойную
соперничать с древнеегипетской.
298
00:21:15,760 --> 00:21:19,800
И нам известно гораздо больше
об их достижениях.
299
00:21:24,080 --> 00:21:27,640
Это город Дамаск,
ему уже свыше 5000 лет,
300
00:21:27,680 --> 00:21:31,040
но жизнь в нём кипит и сегодня.
301
00:21:31,080 --> 00:21:36,600
Он был ключевым пунктом
торговых путей, связывающих
древнюю Месопотамию с Египтом.
302
00:21:36,640 --> 00:21:43,480
С 1800 года до н.э. под властью
Древнего Вавилона находилась большая
часть современных Ирака, Ирана и Сирии.
303
00:21:43,520 --> 00:21:50,880
Для того, чтобы расширять и поддерживать
свою империю, они стали настоящими
виртуозами в работе с числами.
304
00:21:50,920 --> 00:21:53,680
Например, до нас дошёл свод законов,
305
00:21:53,720 --> 00:21:55,960
в котором говорится
об устройстве их общества.
306
00:21:56,000 --> 00:21:59,880
Больше всего нам известно о писцах -
людях, профессионально занимавшихся
307
00:21:59,920 --> 00:22:05,040
письмом и счётом, ведших записи
для богатых семейств, храмов и дворцов.
308
00:22:05,080 --> 00:22:10,080
Школы писцов возникли
примерно в 2500 году до н.э.
309
00:22:10,120 --> 00:22:17,000
Писцов готовили с самого детства,
обучая их читать, писать
и работать с числами.
310
00:22:17,040 --> 00:22:19,880
Писцы вели свои записи
на глиняных табличках,
311
00:22:19,920 --> 00:22:23,960
которые и позволили вавилонянам
поддерживать и развивать свою империю.
312
00:22:24,000 --> 00:22:30,760
Тем не менее, многие из дошедших
до нас табличек - это не официальные
документы, а детские упражнения.
313
00:22:30,800 --> 00:22:37,400
Именно эти невзрачные находки позволили
нам проникнуть в самую суть подхода
вавилонян к математике.
314
00:22:37,440 --> 00:22:42,200
Итак, это учебник по геометрии
примерно XVIII века до н.э.
315
00:22:42,240 --> 00:22:44,680
Надеюсь, вы можете разглядеть здесь
множество рисунков.
316
00:22:44,720 --> 00:22:48,920
Под каждым рисунком сформулирована
связанная с ним задача.
317
00:22:48,960 --> 00:22:55,560
Например, в этой задаче говорится:
"Я нарисовал квадрат со стороной 60,
318
00:22:55,600 --> 00:23:00,680
а внутри него я нарисовал круги.
Какова их площадь?"
319
00:23:00,720 --> 00:23:07,000
А эта маленькая табличка была
написана, по крайней мере,
через 1000 лет после той,
320
00:23:07,040 --> 00:23:09,880
но между ними есть
очень интересная связь.
321
00:23:09,920 --> 00:23:12,280
На ней также нарисовано четыре круга,
322
00:23:12,320 --> 00:23:17,040
вписанных в квадрат. Нарисованы они
грубо, но это не учебник,
а упражнение для школьников.
323
00:23:17,080 --> 00:23:21,160
Учитель, взрослый писец,
давал эту табличку
324
00:23:21,200 --> 00:23:25,080
как образец чего-то вроде
выполненного домашнего задания.
325
00:23:26,240 --> 00:23:29,320
Как и египтяне, жители Вавилона
проявляли интерес
326
00:23:29,360 --> 00:23:32,680
к решению прикладных задач,
связанных с измерением и взвешиванием.
327
00:23:32,720 --> 00:23:37,160
Решения этих задач вавилонскими
математиками записаны в форме
математических рецептов.
328
00:23:37,200 --> 00:23:42,760
Писцу просто понадобится двигаться
последовательно и записывать
ряд шагов, чтобы достичь результата.
329
00:23:42,800 --> 00:23:47,520
Вот пример одной из типичных задач,
которые они решали.
330
00:23:47,560 --> 00:23:51,520
Здесь я взял связку палочек корицы,
но я не собираюсь их взвешивать.
331
00:23:51,560 --> 00:23:56,200
Вместо этого, я намерен взять
их четырехкратный вес
и добавить его на весы.
332
00:23:57,840 --> 00:24:04,400
Сейчас я намерен добавить 20 джинн.
Джинн являлся мерой веса
в Древнем Вавилоне.
333
00:24:04,440 --> 00:24:07,720
Здесь я собираюсь взять половину
всей связки и затем добавить столько же.
334
00:24:07,760 --> 00:24:10,040
Это две связки и десять джинн.
335
00:24:10,080 --> 00:24:16,080
Всё, что находится с этой стороны,
составляет ровно одну ману.
Одна мана равнялась шестидесяти джиннам.
336
00:24:16,120 --> 00:24:20,040
У нас получилось одно из первых
в истории математических уравнений:
337
00:24:20,080 --> 00:24:22,920
все, что находится с этой стороны,
равно одной мане.
338
00:24:22,960 --> 00:24:25,960
Но чему же равен вес связки
палочек корицы?
339
00:24:26,000 --> 00:24:29,240
При полном отсутствии алгебраического
языка они были в состоянии
340
00:24:29,280 --> 00:24:34,960
управлять величинами и смогли доказать,
что палочки корицы весили пять джинн.
341
00:24:35,000 --> 00:24:40,320
На мой взгляд, как раз такой тип задач
и принес математике
несколько дурную славу.
342
00:24:40,360 --> 00:24:44,800
Вину за все те мучительные проблемы,
с которыми вы сталкивались в школе,
можно взвалить на древних вавилонян.
343
00:24:44,840 --> 00:24:49,680
Но писцы Древнего Вавилона
выходили за пределы задач этого типа.
344
00:24:49,720 --> 00:24:57,200
Удивительно то, что они использовали
возможности не десятичной системы,
как египтяне, а шестидесятиричной.
345
00:24:59,920 --> 00:25:05,080
Вивилоняне придумали собственную
числовую систему, основанную,
как и египетская, на счете на пальцах.
346
00:25:05,120 --> 00:25:08,280
Но вместо счета с использованием
десяти пальцев на своих руках,
347
00:25:08,320 --> 00:25:11,240
жители Вавилона нашли
более хитроумный способ подсчета
с помощью частей тела.
348
00:25:11,280 --> 00:25:13,760
Они использовали двенадцать суставов
на одной руке
349
00:25:13,800 --> 00:25:16,160
и пять пальцев на другой,
чтобы отсчитать
350
00:25:16,200 --> 00:25:20,280
12 раз по 5, что давало 60 разных чисел.
351
00:25:20,320 --> 00:25:24,760
Например, это означало
2 в разряде двенадцати, то есть 24,
352
00:25:24,800 --> 00:25:28,880
а это - раз, два, три, четыре,
пять единиц, то есть в сумме 29.
353
00:25:32,000 --> 00:25:35,680
Но число 60 обладает ещё одним
серьёзным достоинством.
354
00:25:35,720 --> 00:25:39,120
Оно имеет много делителей.
355
00:25:39,160 --> 00:25:41,120
Вот 60 бобов.
356
00:25:41,160 --> 00:25:44,560
Я могу расположить их в два ряда по 30.
357
00:25:48,560 --> 00:25:51,280
В 3 ряда по 20.
358
00:25:51,320 --> 00:25:53,680
В 4 ряда по 15.
359
00:25:53,720 --> 00:25:55,920
В 5 рядов по 12.
360
00:25:55,960 --> 00:25:59,080
Или же в 6 рядов по 10.
361
00:25:59,120 --> 00:26:05,320
Это свойство числа 60 делает его
идеальным основанием
для системы счисления.
362
00:26:05,360 --> 00:26:10,760
Шестидесятиричная система счисления
оказалась настолько удачной,
что мы до сих пор её используем.
363
00:26:10,800 --> 00:26:14,840
Каждый раз, когда нужно узнать время,
мы интересуемся шестидесятыми долями -
364
00:26:14,880 --> 00:26:18,800
ведь в минуте 60 секунд,
а в часе - 60 минут.
365
00:26:18,840 --> 00:26:24,560
Однако важнейшей особенностью
вавилонской числовой системы была
значимость порядка цифр.
366
00:26:24,600 --> 00:26:29,960
Как и в привычной нам десятичной
системе, где есть разряды
десятков, сотен и тысяч,
367
00:26:30,000 --> 00:26:34,080
порядок цифр в вавилонской системе
означал соответствующую им
степень числа 60.
368
00:26:41,160 --> 00:26:44,200
Вместо того, чтобы придумывать
новые знаки для больших чисел,
369
00:26:44,240 --> 00:26:50,200
они просто написали бы 1-1-1,
что означало бы число 3600+60+1=3661.
370
00:26:53,800 --> 00:26:59,440
Их подтолкнуло на это новшество
желание начертить карту звёздного неба.
371
00:27:07,200 --> 00:27:10,600
Древневавилонский календарь
был основан на лунных циклах.
372
00:27:10,640 --> 00:27:14,960
Они нуждались в способе записи
по-настоящему астрономических чисел.
373
00:27:15,000 --> 00:27:19,320
Месяц за месяцем, год за годом,
они записывали свои наблюдения за луной.
374
00:27:19,360 --> 00:27:25,480
Они вели список всех лунных затмений,
начиная примерно с 800 года до н.э.
375
00:27:25,520 --> 00:27:31,160
В то время вавилонская система мер
была достаточно развитой.
376
00:27:31,200 --> 00:27:33,520
У них была система угловых мер,
377
00:27:33,560 --> 00:27:37,240
полный круг составлял 360 градусов,
378
00:27:37,280 --> 00:27:41,600
каждый градус состоял из 60 угловых
минут, а каждая угловая минута -
из 60 угловых секунд.
379
00:27:41,640 --> 00:27:48,320
То есть, у них была привычная нам
система мер, и она прекрасно сочеталась
с их числовой системой,
380
00:27:48,360 --> 00:27:51,960
это было удобно не только
для наблюдений, но и для вычислений.
381
00:27:52,000 --> 00:27:56,120
Но для того, чтобы нормально работать
с такими большими числами,
382
00:27:56,160 --> 00:28:00,480
вавилонянам необходимо было
изобрести новый символ.
383
00:28:00,520 --> 00:28:03,760
И это их изобретение стало основой
для одного из важнейших
384
00:28:03,800 --> 00:28:06,640
прорывов в истории математики -
изобретении нуля.
385
00:28:06,680 --> 00:28:11,000
Сначала древние вавилоняне
для обозначения отсутствующих цифр
386
00:28:11,040 --> 00:28:14,400
внутри числа использовали
просто пустое место.
387
00:28:14,440 --> 00:28:19,720
Но тогда нужен способ показать,
что на этом месте внутри числа
ничего не стоит.
388
00:28:19,760 --> 00:28:25,120
Поэтому они использовали
знак пунктуации, наподобие ударения,
389
00:28:25,160 --> 00:28:29,040
и он стал обозначать ноль внутри числа.
390
00:28:29,080 --> 00:28:34,960
Именно так и в такой форме
впервые в истории математики
появилось понятие нуля.
391
00:28:35,000 --> 00:28:41,760
Но пройдёт ещё более 1000 лет,
прежде чем этот значок станет
полноценным числом.
392
00:28:50,400 --> 00:28:54,120
Изобретя столь сложную
числовую систему,
393
00:28:54,160 --> 00:28:59,480
они использовали её для укрощения
засушливых и недружелюбных
земель Месопотамии.
394
00:29:01,880 --> 00:29:06,160
Инженеры и землемеры Древнего Вавилона
придумали оригинальные методы
395
00:29:06,200 --> 00:29:10,160
добычи воды и орошения
полей с её помощью.
396
00:29:10,200 --> 00:29:15,520
И вновь для этого
они использовали математику.
397
00:29:15,560 --> 00:29:18,960
Долина реки Оронт в Сирии
всё ещё является центром мелиорации,
398
00:29:19,000 --> 00:29:26,080
где используются старые методы орошения,
как и тысячи лет назад.
399
00:29:26,120 --> 00:29:28,920
Многие задачи вавилонской математики
400
00:29:28,960 --> 00:29:34,120
были связаны с землемерием,
и именно в них мы впервые встречаемся
401
00:29:34,160 --> 00:29:39,680
с квадратными уравнениями -
одним из величайших наследий
математики Древнего Вавилона.
402
00:29:39,720 --> 00:29:43,320
Говоря о квадратном уравнении,
подразумевают, что неизвестная величина,
403
00:29:43,360 --> 00:29:46,680
которую мы пытаемся найти,
входит в него умноженной на саму себя.
404
00:29:46,720 --> 00:29:49,640
Мы называем это возведением
в квадрат, так как при этом получается
площадь квадрата,
405
00:29:49,680 --> 00:29:52,800
и именно при вычислении
площадей земельных участков
406
00:29:52,840 --> 00:29:55,720
такие уравнения возникают
естественным образом.
407
00:30:01,120 --> 00:30:03,040
Вот типичный пример такой задачи.
408
00:30:03,080 --> 00:30:05,920
Если прямоугольное поле
имеет площадь 55 квадратных единиц,
409
00:30:05,960 --> 00:30:10,400
а одна из его сторон
на 6 единиц больше другой,
410
00:30:10,440 --> 00:30:12,320
то какова тогда длина
меньшей из его сторон?
411
00:30:14,000 --> 00:30:18,400
Решение древних вавилонян
состояло в том, чтобы перекроить поле,
придав ему форму квадрата.
412
00:30:18,440 --> 00:30:21,680
Отрежем с этого конца
полоску шириной в 3 единицы
413
00:30:21,720 --> 00:30:24,520
и передвинем её сюда.
414
00:30:24,560 --> 00:30:29,680
Теперь до полного квадрата нам
не хватает участка 3 на 3,
так давайте его добавим.
415
00:30:29,720 --> 00:30:34,400
При этом площадь увеличилась
на 9 квадратных единиц.
416
00:30:34,440 --> 00:30:37,800
Значит, получился участок
площадью в 64 квадратных единицы.
417
00:30:37,840 --> 00:30:41,640
То есть, стороны этого квадрата
имеют длину 8 единиц.
418
00:30:41,680 --> 00:30:45,080
Но, замечают авторы решения,
мы прибавили к этой стороне 3 единицы.
419
00:30:45,120 --> 00:30:49,280
Поэтому исходная длина
должна равняться пяти.
420
00:30:50,320 --> 00:30:55,360
Это может показаться странным,
но перед нами одно из первых в истории
квадратных уравнений.
421
00:30:57,200 --> 00:31:02,160
В наши дни мы воспользовались бы
алгебраическим языком символов
для решения этой задачи.
422
00:31:02,200 --> 00:31:07,160
Удивительное искусство вавилонян
состояло в том, что они использовали
эти геометрические игры для её решения,
423
00:31:07,200 --> 00:31:09,960
не привлекая символы и формулы.
424
00:31:10,000 --> 00:31:13,680
Древние вавилоняне наслаждались
самим процессом решения задач.
425
00:31:13,720 --> 00:31:17,720
Они были просто влюблены в математику.
426
00:31:28,880 --> 00:31:33,840
Их увлечение числами вскоре
нашло отражение и в их досуге.
427
00:31:33,880 --> 00:31:35,720
Они были азартными игроками.
428
00:31:35,760 --> 00:31:38,520
Древние вавилоняне и их потомки
429
00:31:38,560 --> 00:31:42,920
играют в нарды вот уже более 5000 лет.
430
00:31:42,960 --> 00:31:45,600
Древние вавилоняне
любили настольные игры:
431
00:31:45,640 --> 00:31:51,960
от изысканных игр, найденных
в царских гробницах, до скромных игр,
остатки которых находили
при раскопках школ,
432
00:31:52,000 --> 00:31:56,040
и до игр, нацарапанных на полу
у входов во дворцы,
433
00:31:56,080 --> 00:32:00,280
так что охранники, должно быть,
играли, когда им было скучно,
434
00:32:00,320 --> 00:32:03,520
бросая кубики, чтобы перемещать
по кругу свои фишки.
435
00:32:04,480 --> 00:32:09,560
Игроки использовали числа,
чтобы на досуге испытать
и обхитрить своих соперников,
436
00:32:09,600 --> 00:32:12,440
производя в уме быстрые вычисления,
437
00:32:12,480 --> 00:32:17,040
и вот так, вычисляя на досуге,
438
00:32:17,080 --> 00:32:20,760
они, сами того не понимая,
выполняли трудную математическую работу.
439
00:32:23,120 --> 00:32:24,360
Ну теперь мой шанс!
440
00:32:24,400 --> 00:32:29,760
Я уже много лет не играл в нарды,
но самоуверенно надеюсь,
что мои математические способности
дадут мне шанс на победу.
441
00:32:29,800 --> 00:32:33,320
- Это вам решать.
- Шесть... и мне нужно что-то убрать.
442
00:32:33,360 --> 00:32:36,320
Но это было не так-то просто,
как я думал.
443
00:32:36,360 --> 00:32:38,440
Ах! Да что ж такое?
444
00:32:38,480 --> 00:32:42,200
- Да уж.
- Это раз, а это два.
445
00:32:42,240 --> 00:32:43,960
Вот теперь у вас неприятности.
446
00:32:44,000 --> 00:32:47,560
- Теперь я не могу ничем пойти.
- Этими вы ходить не можете.
447
00:32:47,600 --> 00:32:48,960
Вот блин!
448
00:32:50,320 --> 00:32:52,080
Бросайте.
449
00:32:53,120 --> 00:32:54,720
Три и четыре.
450
00:32:54,760 --> 00:33:00,480
Как и древние вавилоняне,
мои соперники - настоящие мастера
математической тактики.
451
00:33:00,520 --> 00:33:01,880
Да.
452
00:33:02,920 --> 00:33:05,600
Положите туда. Хорошая игра.
453
00:33:06,920 --> 00:33:10,400
Общепризнанно, что вавилоняне
одни из первых
454
00:33:10,440 --> 00:33:13,600
начали делать кубики, придавая им
формы правильных многогранников,
455
00:33:13,640 --> 00:33:17,200
но серьёзные споры
возникают вокруг вопроса о том,
456
00:33:17,240 --> 00:33:20,680
действительно ли они первыми
открыли секреты другой
важной геометрической фигуры.
457
00:33:20,720 --> 00:33:23,800
Прямоугольного треугольника.
458
00:33:26,800 --> 00:33:32,120
Мы уже видели, как египтяне использовали
соотношение сторон 3-4-5
у прямоугольного треугольника.
459
00:33:32,160 --> 00:33:37,360
Но вавилоняне обладали
даже более глубокими
знаниями об этой фигуре
и других, ей подобных.
460
00:33:37,400 --> 00:33:41,880
Перед нами наиболее на сегодняшний день
известная и до сих пор вызывающая споры
древняя дощечка.
461
00:33:41,920 --> 00:33:44,240
Она называется Плимптон 322.
462
00:33:45,280 --> 00:33:48,840
Многие математики убеждены, что она -
доказательство того, что вавилонянам
463
00:33:48,880 --> 00:33:53,120
могло быть хорошо известно общее
свойство прямоугольных треугольников:
464
00:33:53,160 --> 00:33:57,160
квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов,
465
00:33:57,200 --> 00:34:00,040
причём известно за сотни лет
до того, как это открыли греки.
466
00:34:01,680 --> 00:34:06,080
Это копия возможно самой известной
вавилонской таблички,
467
00:34:06,120 --> 00:34:07,800
которая называется Плимптон 322,
468
00:34:07,840 --> 00:34:12,440
эти числа обозначают длины катетов
прямоугольного треугольника,
469
00:34:12,480 --> 00:34:17,280
эти обозначают его гипотенузу,
а здесь должна была быть
другая половина таблички,
470
00:34:17,320 --> 00:34:23,240
квадраты чисел в этой колонке в сумме
с квадратами соответствующих чисел в этой
471
00:34:23,280 --> 00:34:26,120
дают квадрат гипотенузы.
472
00:34:26,160 --> 00:34:30,880
Вавилоняне расположили
эти длины катетов и гипотенуз
разных прямоугольных треугольников
в порядке строгого убывания их углов -
473
00:34:30,920 --> 00:34:33,760
этот порядок говорит нам о том,
что вавилонянам
474
00:34:33,800 --> 00:34:38,360
было хорошо известно,
как эти числа соотносятся.
475
00:34:44,480 --> 00:34:50,560
Здесь указано 15 пифагоровых троек
целых чисел, представляющих собой
стороны прямоугольных треугольников.
476
00:34:50,600 --> 00:34:55,920
Очень заманчиво считать, что вавилоняне
были первыми хранителями
знания о теореме Пифагора,
477
00:34:55,960 --> 00:35:00,960
и этому соблазну поддались
целые поколения историков.
478
00:35:01,000 --> 00:35:03,720
Но этим пифагоровым тройкам
есть, возможно,
479
00:35:03,760 --> 00:35:07,520
и более простое объяснение.
480
00:35:07,560 --> 00:35:12,560
Это не попытка отыскать
все пифагоровы тройки,
481
00:35:12,600 --> 00:35:17,400
просто какой-то учитель математики
делал выкладки
482
00:35:17,440 --> 00:35:20,920
с целью подобрать маленькие числа,
483
00:35:20,960 --> 00:35:25,880
чтобы задать своим ученикам задачи
о прямоугольных треугольниках,
484
00:35:25,920 --> 00:35:30,760
и, в некотором смысле,
пифагоровы тройки появились случайно.
485
00:35:33,280 --> 00:35:38,800
Более веские улики, которые позволили бы
судить об их знаниях, возможно,
стоит искать в другом месте.
486
00:35:38,840 --> 00:35:43,120
Эта маленькой школьной
табличке около 4000 лет,
487
00:35:43,160 --> 00:35:48,560
но она показывает, что именно было
известно в Древнем Вавилоне
о прямоугольных треугольниках.
488
00:35:48,600 --> 00:35:54,120
В ней используется идея теоремы
Пифагора для нахождения одного
удивительного нового числа.
489
00:35:57,720 --> 00:36:05,520
Число, написанное вдоль диагонали,
является очень хорошим приближением
квадратного корня из двух,
490
00:36:05,560 --> 00:36:10,640
так что это число было известно
даже школьникам.
491
00:36:10,680 --> 00:36:12,640
Почему это важно?
492
00:36:12,680 --> 00:36:18,200
Потому что корень из двух -
это, как сказали бы мы сегодня,
иррациональное число,
493
00:36:18,240 --> 00:36:23,720
то есть, если записывать его
в десятичной, или даже
шестидесятиричной форме,
494
00:36:23,760 --> 00:36:28,120
то оно будет продолжаться бесконечно.
495
00:36:29,040 --> 00:36:33,400
Отсюда напрашиваются
далеко идущие выводы.
496
00:36:33,440 --> 00:36:37,680
Во-первых, это означает,
что вавилонянам было что-то известно
о теореме Пифагора
497
00:36:37,720 --> 00:36:39,560
за 1000 лет до самого Пифагора.
498
00:36:39,600 --> 00:36:45,320
Во-вторых, тот факт, что они смогли
найти это число с точностью до четырёх
десятичных знаков после запятой,
499
00:36:45,360 --> 00:36:50,360
говорит об их удивительных
способностях к арифметике
и страсти к математической точности.
500
00:36:52,000 --> 00:36:56,200
Мастерство вавилонских математиков
было поразительным,
501
00:36:56,240 --> 00:37:02,840
они стояли во главе научного
прогресса Древнего мира
в течение примерно 2000 лет.
502
00:37:02,880 --> 00:37:08,040
Но когда мощь их империи пошла
на убыль, это отразилось
и на их интеллектуальной мощи.
503
00:37:16,200 --> 00:37:23,040
Около 330 года до нашей эры греки
расширили сферу своих имперских
интересов на область Древней Месопотамии.
504
00:37:25,000 --> 00:37:30,760
Это Пальмира в центральной Сирии -
некогда великий город,
построенный греками.
505
00:37:33,600 --> 00:37:40,760
Для строительства зданий таких правильных
геометрических форм необходимо просто
поразительное математическое мастерство.
506
00:37:41,920 --> 00:37:48,080
Как и ранее вавилоняне, греки были
страстными поклонниками математики.
507
00:37:50,320 --> 00:37:52,840
Греки были талантливыми колонистами.
508
00:37:52,880 --> 00:37:56,040
Они брали всё самое лучшее
от цивилизации, которую покоряли,
509
00:37:56,080 --> 00:37:58,480
чтобы расширить
свою собственную власть и влияние,
510
00:37:58,520 --> 00:38:01,640
но при этом и сами охотно
делились своими достижениями.
511
00:38:01,680 --> 00:38:06,840
По моему мнению, их величайшее
достижение состояло в изменении мышления.
512
00:38:06,880 --> 00:38:11,320
То, что было начато ими,
будет оказывать влияние
на человечество в течении столетий.
513
00:38:11,360 --> 00:38:14,280
Они дали нам силу доказательства.
514
00:38:14,320 --> 00:38:19,400
Так или иначе, они решили, что должны
пользоваться дедуктивной системой
в своей математике,
515
00:38:19,440 --> 00:38:25,480
а такая система обычно начиналась
с принятия на веру некоего набора аксиом.
516
00:38:25,520 --> 00:38:28,840
Это равносильно тому, что определенная
теорема верна без доказательств.
517
00:38:28,880 --> 00:38:34,360
А затем, шаг за шагом,
с помощью логических переходов
518
00:38:34,400 --> 00:38:37,240
с помощью этих аксиом
доказываются теоремы,
519
00:38:37,280 --> 00:38:42,160
и затем уже с помощью этих теорем
доказываются новые теоремы -
это как снежный ком.
520
00:38:43,320 --> 00:38:46,760
Доказательство - как раз то,
что придаёт математике её силу.
521
00:38:46,800 --> 00:38:51,120
Сила доказательства состоит
именно в том, что открытия греков
522
00:38:51,160 --> 00:38:55,240
так же верны сегодня,
как и 2000 лет назад.
523
00:38:55,280 --> 00:39:00,880
Для того чтобы узнать больше,
мне необходимо отправиться в самое
сердце империи древних греков.
524
00:39:08,520 --> 00:39:13,760
Лично для меня, греческая математика
всегда была героической и романтичной.
525
00:39:15,080 --> 00:39:20,000
Я на пути в Самос, менее чем
в полутора километрах от побережья Турции.
526
00:39:20,040 --> 00:39:24,760
Это место обычно связывают
с рождением греческой математики,
527
00:39:24,800 --> 00:39:27,680
а его легендарного жителя -
с её расцветом.
528
00:39:30,800 --> 00:39:32,880
Его имя Пифагор.
529
00:39:32,920 --> 00:39:36,280
Легенды, связанные с его жизнью
и деятельностью, способствовали
530
00:39:36,320 --> 00:39:40,080
известности, которой он пользуется
в течении последних 2000 лет.
531
00:39:40,120 --> 00:39:44,720
Ему приписывается, верно это или нет,
начало преобразования
532
00:39:44,760 --> 00:39:50,000
математики, как средства для расчетов,
в аналитическую дисциплину,
какой мы знаем её сегодня.
533
00:39:53,960 --> 00:39:56,920
Фигура Пифагора неоднозначна.
534
00:39:56,960 --> 00:40:00,120
Поскольку он не оставил никаких
математических трудов,
неоднократно возникал вопрос,
535
00:40:00,160 --> 00:40:04,680
доказал ли он на самом деле
хотя бы одну из теорем,
из тех что ему приписывают.
536
00:40:04,720 --> 00:40:07,720
В шестом веке до нашей эры
им была основана школа в Самосе,
537
00:40:07,760 --> 00:40:13,200
но его преподавательская деятельность
вызывала недоверие, и пифагорейцы
считались эксцентричной сектой.
538
00:40:14,760 --> 00:40:19,480
Есть достаточные основания считать,
что существовали школы пифагорейцев,
539
00:40:19,520 --> 00:40:25,680
которые, возможно, выглядели больше
похожими на секты, чем на то, что в нашем
понимании является философскими школами
540
00:40:25,720 --> 00:40:30,680
поскольку они не просто давали знания,
а также учили жизненной философии.
541
00:40:30,720 --> 00:40:35,840
Там, вероятно, жили сообществом
и, казалось, все были
542
00:40:35,880 --> 00:40:39,760
вовлечены в политическую жизнь
своих городов.
543
00:40:39,800 --> 00:40:45,200
Исключительной для Древнего мира
особенностью этих школ было то,
что в них обучали женщин.
544
00:40:46,360 --> 00:40:52,040
Но имя самого Пифагора ассоциируется
с понятием, которое ускользнуло
от египтян и вавилонян...
545
00:40:52,080 --> 00:40:55,800
Свойства прямоугольных треугольников.
546
00:40:55,840 --> 00:40:58,000
Утверждение, известное
как теорема Пифагора, гласит:
547
00:40:58,040 --> 00:41:01,120
если взять любой
прямоугольный треугольник,
548
00:41:01,160 --> 00:41:05,080
и возвести в квадрат длины всех сторон,
тогда квадрат самой длинной стороны
549
00:41:05,120 --> 00:41:09,080
равен сумме квадратов
двух меньших сторон.
550
00:41:13,040 --> 00:41:16,440
Лично для меня, именно здесь
и рождается математика
551
00:41:16,480 --> 00:41:19,640
и занимает свое место среди других
естественных наук,
552
00:41:19,680 --> 00:41:24,360
и доказательство, выводы которого
одновременно являются такими простыми
и такими удивительными.
553
00:41:24,400 --> 00:41:27,840
Разместите на этой поверхности
554
00:41:27,880 --> 00:41:29,600
четыре одинаковых
прямоугольных треугольника.
555
00:41:29,640 --> 00:41:31,480
Квадрат, который вы сейчас видите,
556
00:41:31,520 --> 00:41:35,200
имеет стороны, равные
гипотенузе треугольника.
557
00:41:35,240 --> 00:41:37,360
Передвигая эти треугольники
по поверхности,
558
00:41:37,400 --> 00:41:40,480
мы видим, каким образом можно
видоизменить площадь большого квадрата,
559
00:41:40,520 --> 00:41:42,920
представив её в виде суммы
квадратов меньшего размера,
560
00:41:42,960 --> 00:41:47,040
стороны которых получены
из двух коротких сторон треугольника.
561
00:41:47,080 --> 00:41:51,800
Другими словами, квадрат гипотенузы
равен сумме
562
00:41:51,840 --> 00:41:55,600
квадратов катетов. Теорема Пифагора.
563
00:41:57,840 --> 00:42:02,160
Это показывает одну из характерных
особенностей греческой математики -
564
00:42:02,200 --> 00:42:07,360
скорее восхищение красотой
геометрических аргументов,
нежели доверие к числам.
565
00:42:11,200 --> 00:42:15,760
Пифагор мог впасть в немилость,
многие его открытия
566
00:42:15,800 --> 00:42:21,600
были не так давно оспорены, но есть одна
математическая теория, которую я
всё же склонен считать его собственной.
567
00:42:21,640 --> 00:42:25,600
Она касается музыки
и открытия гармонических рядов.
568
00:42:27,480 --> 00:42:31,240
Говорят что, однажды,
прогуливаясь неподалеку от кузницы,
569
00:42:31,280 --> 00:42:33,560
Пифагор услышал удары по наковальне,
570
00:42:33,600 --> 00:42:38,560
и заметил, что получавшиеся ноты
звучали в совершенной гармонии.
571
00:42:38,600 --> 00:42:42,000
Он полагал, что должно существовать
определенное рациональное толкование,
572
00:42:42,040 --> 00:42:45,840
которое объясняло, почему ноты звучали
так божественно.
573
00:42:45,880 --> 00:42:48,320
Ответ был найден с помощью математики.
574
00:42:53,280 --> 00:42:57,880
Экспериментируя со струнным инструментом,
Пифагор обнаружил, что интервалы
575
00:42:57,920 --> 00:43:03,200
между гармонично звучащими нотами
всегда представляют собой целые числа.
576
00:43:05,000 --> 00:43:07,920
И как раз на этом он мог
построить свою теорию.
577
00:43:10,520 --> 00:43:13,360
Для начала сыграйте ноту
на свободной струне.
578
00:43:14,920 --> 00:43:16,800
Затем, прижмите струну по середине.
579
00:43:18,760 --> 00:43:21,920
Эта нота звучит почти также,
как и первая.
580
00:43:21,960 --> 00:43:26,880
На самом деле, она на октаву выше,
но правила говорят нам, что эти ноты
называются точно также.
581
00:43:26,920 --> 00:43:28,720
Теперь прижмите струну на трети.
582
00:43:31,400 --> 00:43:35,400
Мы слышим ещё одну ноту, которая звучит
гармонично вслед за двумя первыми,
583
00:43:35,440 --> 00:43:41,000
но взята с длиной струны,
которая не составляет с ними
целочисленного соотношения,
и мы получаем полный диссонанс.
584
00:43:46,400 --> 00:43:50,760
Согласно легенде, Пифагор был
так вдохновлен своим открытием,
585
00:43:50,800 --> 00:43:54,200
что сделал вывод: вся вселенная
построена из чисел.
586
00:43:54,240 --> 00:43:59,800
Но такая картина мира скорее беспокоила
его самого, а также его последователей.
587
00:43:59,840 --> 00:44:04,880
Причиной возникновения
беспокойства послужила теорема,
которая названа в честь Пифагора.
588
00:44:06,920 --> 00:44:12,160
Легенда гласит, что один
из его последователей по имени Гиппас
589
00:44:12,200 --> 00:44:15,240
решил отыскать длину диагонали
590
00:44:15,280 --> 00:44:19,520
прямоугольного треугольника,
обе стороны которого равнялись единице.
591
00:44:19,560 --> 00:44:25,280
Теорема Пифагора подразумевала,
что длина диагонали являлась числом,
квадрат которого был равен двум.
592
00:44:25,320 --> 00:44:29,320
Пифагорейцы предположили,
что результат будет дробным,
593
00:44:29,360 --> 00:44:35,760
но когда Гиппас попытался выразить его
таким образом, то, несмотря на все
его старания, это ему не удавалось.
594
00:44:35,800 --> 00:44:38,360
Со временем он понял свою ошибку.
595
00:44:38,400 --> 00:44:43,080
Она состояла в том, что предположение
о дробном значении результата
было полностью ошибочным.
596
00:44:43,120 --> 00:44:49,200
Значение квадратного корня из двух
являлось числом, запечатленным
вавилонянами на табличке Яла.
597
00:44:49,240 --> 00:44:53,080
Как бы то ни было, они не поняли
особого свойства такого числа.
598
00:44:53,120 --> 00:44:54,800
Но Гиппас сделал это.
599
00:44:54,840 --> 00:44:57,320
Это число было иррациональным.
600
00:45:00,680 --> 00:45:04,560
Открытие этого нового числа и других
таких же - подобно открытию и освоению
601
00:45:04,600 --> 00:45:09,000
нового континента или описанию
натуралистом нового вида.
602
00:45:09,040 --> 00:45:13,280
Но эти иррациональные числа
никак не вписывались
в пифагорейскую систему мира.
603
00:45:13,320 --> 00:45:18,880
Поздние греческие историки рассказывают
легенду о том, что Пифагор взял
со своих последователей обет молчания,
604
00:45:18,920 --> 00:45:21,600
но Гиппас разгласил эту тайну
605
00:45:21,640 --> 00:45:25,360
и вскоре за это поплатился,
утонув в морской пучине.
606
00:45:26,880 --> 00:45:32,200
Такие математические открытия
не так-то просто оставить в тайне.
607
00:45:32,240 --> 00:45:37,680
На их почве по всей Греции начали
расцветать философские и научные школы.
608
00:45:37,720 --> 00:45:42,120
И самая известная из них - Академия.
609
00:45:42,160 --> 00:45:47,320
Эту школу в Афинах основал
Платон в 387 году до н.э.
610
00:45:47,360 --> 00:45:53,800
И хотя сегодня он известен нам
как философ, он занял видное место
и в математике.
611
00:45:53,840 --> 00:45:57,480
Платон был восхищён
пифагорейским взглядом на мир
612
00:45:57,520 --> 00:46:01,800
и считал математику
основой всех знаний.
613
00:46:01,840 --> 00:46:06,840
Есть мнение, что именно Платон
оказал самое большое влияние
614
00:46:06,880 --> 00:46:09,840
на наше восприятие
древнегреческой математики.
615
00:46:09,880 --> 00:46:14,880
Он доказывал, что математика -
это важная форма знания,
616
00:46:14,920 --> 00:46:17,360
и что она связана с реальным миром.
617
00:46:17,400 --> 00:46:23,240
Так что, познавая математику,
мы познаём и мир.
618
00:46:23,280 --> 00:46:29,000
Платон в своём диалоге "Тимей"
приводит тезис о том,
что геометрия - это ключ к разгадке
619
00:46:29,040 --> 00:46:33,240
тайн вселенной - с этим согласны
и современные учёные.
620
00:46:33,280 --> 00:46:37,240
Действительно, вся важность,
которую придавал Платон геометрии,
621
00:46:37,280 --> 00:46:43,720
заключена в надписи над входом
в Академию: "Пусть не останется
равнодушным к геометрии всякий,
сюда входящий."
622
00:46:47,320 --> 00:46:53,480
Платон считал, что всё во Вселенной
составлено из пяти правильных
симметричных форм.
623
00:46:53,520 --> 00:46:56,400
Эти формы, называемые теперь
платоновыми телами,
624
00:46:56,440 --> 00:46:59,360
составлены из правильных многоугольников,
625
00:46:59,400 --> 00:47:02,840
образующих симметричные
трёхмерные объекты.
626
00:47:02,880 --> 00:47:05,480
Тетраэдр представлял элемент огня.
627
00:47:05,520 --> 00:47:09,720
Икосаэдр, составленный из 20
треугольников, представлял элемент воды.
628
00:47:09,760 --> 00:47:11,920
Устойчивый куб
представлял собой элемент Земли.
629
00:47:11,960 --> 00:47:15,640
Октаэдр, со своими восемью гранями,
представлял элемент воздуха.
630
00:47:15,680 --> 00:47:19,200
А пятое платоново тело, додекаэдр,
631
00:47:19,240 --> 00:47:22,040
составленный из 12 пятиугольников,
обозначал пятый элемент,
632
00:47:22,080 --> 00:47:25,760
вобравший в себя все представления
Платона о Вселенной.
633
00:47:29,400 --> 00:47:33,400
Теория Платона продолжала вдохновлять
и потрясать воображение
634
00:47:33,440 --> 00:47:37,160
математиков и астрономов
на протяжении более чем 1500 лет.
635
00:47:38,160 --> 00:47:40,880
Помимо выдающихся
достижений Академии,
636
00:47:40,920 --> 00:47:45,640
математика Древней Греции
прославилась и успехами своей окраины,
637
00:47:45,680 --> 00:47:51,280
унаследовавшей не меньше знаний
от египтян, чем от греков.
638
00:47:51,320 --> 00:47:57,760
Александрия стала центром
математического просвещения во времена
правления Птолемеев в III веке до н.э.,
639
00:47:57,800 --> 00:48:04,080
и совсем скоро репутация её знаменитой
библиотеки смогла соперничать
с репутацией платоновской Академии.
640
00:48:04,120 --> 00:48:11,520
Цари Александрии охотно жертвовали
на искусства и ремёсла,
641
00:48:11,560 --> 00:48:14,720
на развитие технологий,
математики и грамотности,
642
00:48:14,760 --> 00:48:19,440
ведь поддержка культурного развития
643
00:48:19,480 --> 00:48:26,760
была одним из способов доказать
своё превосходство над другими правителями
644
00:48:26,800 --> 00:48:30,080
и давала больше прав
называться великими.
645
00:48:31,840 --> 00:48:34,840
Древняя библиотека была уничтожена
со всем своим ценным содержимым,
646
00:48:34,880 --> 00:48:38,600
когда мусульмане в VII веке
захватили Египет.
647
00:48:38,640 --> 00:48:41,440
Но её дух живёт в новом здании.
648
00:48:43,480 --> 00:48:47,320
Сегодня библиотека остаётся
местом учёбы и открытий.
649
00:48:51,840 --> 00:48:55,120
Математики и философы со всего мира
стекаются в Александрию,
650
00:48:55,160 --> 00:48:58,280
окрыленные жаждой знаний
и стремлением к совершенству.
651
00:48:58,320 --> 00:49:02,240
Именно в этой древней библиотеке
появились первые
профессиональные учёные -
652
00:49:02,280 --> 00:49:05,800
люди, получавшие деньги
за своё верное служение науке.
653
00:49:05,840 --> 00:49:07,920
Но из всех этих пионеров науки
654
00:49:07,960 --> 00:49:12,080
больше всех мне нравится
таинственный греческий математик Евклид.
655
00:49:15,800 --> 00:49:18,320
Мы мало знаем о его жизни,
656
00:49:18,360 --> 00:49:22,560
но величайший вклад в науку
он сделал как летописец математики.
657
00:49:22,600 --> 00:49:27,800
Примерно в 300 году до н.э. он написал
самый великий учебник всех времён -
658
00:49:27,840 --> 00:49:30,280
"Элементы". В его "Элементах"
659
00:49:30,320 --> 00:49:34,040
мы видим кульминацию
революции в математике,
660
00:49:34,080 --> 00:49:36,160
которая произошла в Греции.
661
00:49:38,120 --> 00:49:42,440
Изложение в книге построено
на системе математических допущений,
называемых аксиомами.
662
00:49:42,480 --> 00:49:47,200
Например, "через любые две точки
можно провести прямую".
663
00:49:47,240 --> 00:49:51,960
Далее, исходя из этих аксиом, путём
логического вывода доказываются теоремы.
664
00:49:55,120 --> 00:49:59,560
"Элементы" содержат формулы
для вычисления объёмов
конусов и цилиндров,
665
00:49:59,600 --> 00:50:02,600
доказательства теорем
о геометрических прогрессиях,
666
00:50:02,640 --> 00:50:05,360
о совершенных и простых числах.
667
00:50:05,400 --> 00:50:09,960
Наивысшим достижением "Элементов"
стало доказательство существования
ровно пяти платоновых тел.
668
00:50:12,800 --> 00:50:17,480
По моему мнению, эта теорема
улавливает всю мощь математики.
669
00:50:17,520 --> 00:50:20,280
Одно дело просто построить
пять симметричных тел,
670
00:50:20,320 --> 00:50:25,800
и совсем другое - неопровержимым
логическим рассуждением показать,
что шестого такого тела не существует.
671
00:50:25,840 --> 00:50:29,800
Повествование в "Элементах"
разворачивается как в удивительном
и таинственном логическом рассказе.
672
00:50:29,840 --> 00:50:32,920
Этот рассказ находится вне времени.
673
00:50:32,960 --> 00:50:36,760
Одна за другой рушатся научные теории,
674
00:50:36,800 --> 00:50:43,120
но теоремы из "Элементов" остаются
верными сегодня, как и 2000 лет назад.
675
00:50:43,160 --> 00:50:46,680
Если вы задержитесь на минуту,
чтобы об этом подумать,
то поймёте, насколько это поразительно.
676
00:50:46,720 --> 00:50:48,360
Именно эти теоремы мы изучаем в школе.
677
00:50:48,400 --> 00:50:53,160
Мы можем изучать их немного иначе,
в другой последовательности,
678
00:50:53,200 --> 00:50:57,400
но это всё та же геометрия Евклида,
которая всё так же верна,
679
00:50:57,440 --> 00:51:01,520
и даже в высшей математике,
при переходе к многомерным пространствам
680
00:51:01,560 --> 00:51:03,760
мы также пользуемся геометрией Евклида.
681
00:51:05,320 --> 00:51:09,280
Вполне возможно, что Александрия
вдохновляла древних учёных,
682
00:51:09,320 --> 00:51:15,560
а слава Евклида привлекала сюда
всё больше молодых энергичных умов.
683
00:51:15,600 --> 00:51:21,880
Одним из таких математических умов,
наслаждавшихся атмосферой научных
открытий в Александрии, был Архимед.
684
00:51:22,880 --> 00:51:26,400
Ему суждено было стать
математическим провидцем.
685
00:51:26,440 --> 00:51:31,280
Лучшие математики Древней Греции всегда
пытались раздвинуть горизонты сознания,
686
00:51:31,320 --> 00:51:32,760
преодолевая все преграды.
687
00:51:32,800 --> 00:51:35,400
Поэтому Архимед
688
00:51:35,440 --> 00:51:38,400
упорно занимался многоугольниками
689
00:51:38,440 --> 00:51:40,720
и объёмными телами.
690
00:51:40,760 --> 00:51:43,560
Потом он занялся нахождением
центров тяжести.
691
00:51:43,600 --> 00:51:47,880
Потом - изучением свойств спиралей.
692
00:51:47,920 --> 00:51:54,000
Этот инстинкт математизации всего вокруг,
693
00:51:54,040 --> 00:51:57,640
по моему мнению, является врождённым.
694
00:51:58,760 --> 00:52:03,480
Помимо прочего, Архимед был специалистом
и в области орудий массового поражения.
695
00:52:03,520 --> 00:52:09,560
Их использовали против римлян,
вторгшихся в Сиракузы в 212 году до н.э.
696
00:52:09,600 --> 00:52:13,400
Он также изобрёл зеркала,
которые подожгли римский флот,
697
00:52:13,440 --> 00:52:15,960
используя энергию солнца.
698
00:52:16,000 --> 00:52:20,720
Но для Архимеда это были лишь
геометрические забавы.
699
00:52:20,760 --> 00:52:23,480
Предмет его амбиций был более возвышен.
700
00:52:26,280 --> 00:52:32,760
Архимед был восхищен чистой
математикой, и верил в смысл
её изучения ради неё самой,
701
00:52:32,800 --> 00:52:37,000
а не ради презренной торговли
или создания механизмов на заказ
для получения прибыли.
702
00:52:37,040 --> 00:52:41,040
Одно из лучших его исследований
в чистой математике
703
00:52:41,080 --> 00:52:45,040
посвящено отысканию формул
для площадей фигур правильной формы.
704
00:52:47,000 --> 00:52:52,680
Его метод состоял в том,
чтобы использовать уже изученные фигуры
для исследования новых фигур.
705
00:52:52,720 --> 00:52:55,920
Например, чтобы найти площадь круга,
706
00:52:55,960 --> 00:53:01,120
он вписал бы этот круг в треугольник,
а затем, удваивая в треугольнике
количество сторон,
707
00:53:01,160 --> 00:53:05,520
стремился приблизить форму
получающейся фигуры к кругу.
708
00:53:05,560 --> 00:53:07,560
И правда, мы ведь иногда
даже называем круг
709
00:53:07,600 --> 00:53:10,560
многоугольником
с бесконечным числом сторон.
710
00:53:10,600 --> 00:53:14,400
Но, вычисляя площадь круга,
Архимед на самом деле
711
00:53:14,440 --> 00:53:18,680
получает значение числа пи -
важнейшую математическую величину.
712
00:53:19,720 --> 00:53:25,960
Так или иначе, Архимед прославился
именно своим подсчётом объёмов тел.
713
00:53:26,000 --> 00:53:29,000
Он нашел способ вычислить объём сферы,
714
00:53:29,040 --> 00:53:33,480
разделяя её на слои и приближенно
представляя каждый слой в виде цилиндра.
715
00:53:33,520 --> 00:53:36,320
Затем он сложил объёмы этих слоёв,
716
00:53:36,360 --> 00:53:39,680
тем самым получая приближенное
значение объёма сферы.
717
00:53:39,720 --> 00:53:42,640
Но поистине гениальным было увидеть,
что происходит
718
00:53:42,680 --> 00:53:45,480
если делать эти слои
все тоньше и тоньше.
719
00:53:45,520 --> 00:53:50,240
В своем пределе приблизительное значение
становится точным.
720
00:53:54,320 --> 00:53:59,240
Но этот долг Архимеда математике
так и остался неоплаченным.
721
00:54:01,360 --> 00:54:06,160
Архимед был занят решением задачи
о начерченных на песке кругах.
722
00:54:06,200 --> 00:54:08,800
Когда к нему обратился солдат-римлянин,
723
00:54:08,840 --> 00:54:14,840
Архимед был так поглощен этой задачей,
что настаивал, что ему следует
завершить доказательство теоремы.
724
00:54:14,880 --> 00:54:20,120
Но римский солдат не заинтересовался
задачей Архимеда и тут же убил его.
725
00:54:20,160 --> 00:54:25,000
Даже перед лицом смерти поражала
преданность Архимеда математике.
726
00:54:46,600 --> 00:54:49,680
С середины I века до нашей эры,
727
00:54:49,720 --> 00:54:53,720
римляне распространили свое господство
на империю Древних греков.
728
00:54:53,760 --> 00:54:56,520
Они не были склонны просто восхищаться
красотой математики
729
00:54:56,560 --> 00:54:59,840
и более интересовались
её практическим применением.
730
00:54:59,880 --> 00:55:05,720
Такой прагматичный подход
предупреждал о начале конца
великой Александрийской библиотеки.
731
00:55:05,760 --> 00:55:09,960
Но один математик был призван сохранить
жизненную силу наследия греков.
732
00:55:10,000 --> 00:55:14,840
Ипатия была единственной в своем роде
женщиной-математиком,
733
00:55:14,880 --> 00:55:18,000
и язычницей в религиозной
Христианской Римской империи.
734
00:55:19,920 --> 00:55:24,760
В свое время Ипатия пользовалась
большим уважением
и была весьма влиятельна.
735
00:55:24,800 --> 00:55:30,640
У неё было огромное количество
учеников и последователей.
736
00:55:30,680 --> 00:55:34,880
В Александрии она обладала
политическим влиянием.
737
00:55:34,920 --> 00:55:37,760
Так что такое сочетание...
738
00:55:37,800 --> 00:55:44,040
высокообразованности и влиятельности,
возможно, сделало её
739
00:55:44,080 --> 00:55:47,600
ненавистной фигурой...
740
00:55:47,640 --> 00:55:49,280
для христианской толпы.
741
00:55:55,000 --> 00:55:59,000
Однажды утром во время Великого поста
беснующаяся христианская толпа
742
00:55:59,040 --> 00:56:03,040
стащила Ипатию с её колесницы
и поволокла в церковь.
743
00:56:03,080 --> 00:56:06,760
Там её мучили и затем зверски убили.
744
00:56:09,520 --> 00:56:12,440
Полные драматизма обстоятельства
её жизни и смерти
745
00:56:12,480 --> 00:56:15,200
произвели сильное впечатление
на последующие поколения.
746
00:56:15,240 --> 00:56:20,880
К сожалению, её культовый статус
заслонял её математические достижения.
747
00:56:20,920 --> 00:56:23,920
На самом деле, она была талантливым
преподавателем и теоретиком,
748
00:56:23,960 --> 00:56:29,640
и её смерть нанесла окончательный удар
по математическому наследию
греков в Александрии.
749
00:56:37,040 --> 00:56:40,880
Мои странствия превратились
в удивительное путешествие, открывающее
750
00:56:40,920 --> 00:56:46,080
страсть и новаторство
первых математиков нашего мира.
751
00:56:46,120 --> 00:56:51,120
Эти открытия, совершенные
первопроходцами из Египта,
Вавилона и Греции,
752
00:56:51,160 --> 00:56:55,520
представляют собой основы, на которых
и построена современная математика.
753
00:56:55,560 --> 00:56:58,960
Но это лишь начало
моей математической одиссеи.
754
00:56:59,000 --> 00:57:02,600
Далее мой путь лежит на восток,
в центральную Азию,
755
00:57:02,640 --> 00:57:05,760
где математики достигли даже
более значительных высот
756
00:57:05,800 --> 00:57:08,000
в поисках знания.
757
00:57:08,040 --> 00:57:11,920
С началом новой эры появился
новый язык алгебры и чисел,
758
00:57:11,960 --> 00:57:16,120
более подходящий для написания
следующей главы в истории математики.
759
00:57:17,600 --> 00:57:19,800
Об истории математики
можно узнать больше
760
00:57:19,840 --> 00:57:23,040
на сайте Открытого университета
www.open2.net
761
00:57:23,050 --> 00:57:28,050
Тайминг MVGroup.org
Перевод Truetranslate.tv
Редакторы Irina73, IamCrazy, Betelgeuse_990, cepylka, kot_xydozhnika, gromitt
762
00:57:28,060 --> 00:57:32,060
Переведено на сайте www.notabenoid.com
Переводчики: Betelgeuse_990, gromitt, cepylka, Irina73, kot_xydozhnika