На протяжении всей истории человечество изо всех сил
стремилось к пониманию фундаментальных законов материального мира.
Мы пытались найти правила и модели, которые определяют свойства
объектов, что окружают нас, их сложную взаимосвязь с нами и друг с другом.
Вот уже более тысячи лет прошло с тех пор, как мир определил ту самую дисциплину,
что более всех остальных позволяет в некоторой степени познать
основополагающие реалии физического мира.
Эта дисциплина - математика.
Меня зовут Маркус Дю Сотой, и я математик.
Я ищу систему, выслеживаю скрытые структуры,
которые лежат в основе кажущегося хаоса и сложности окружающего нас мира.
В процессе поиска модели и системы я опирался на работы великих математиков,
работавших до меня, людей, принадлежавших различным культурным слоям по всему миру,
чьи идеи создали язык, на котором написана вселенная.
Я бы хотел взять вас в путешествие сквозь время и пространство и проследить путь развития математики
от момента пробуждения до замысловатой науки, какой она является сегодня.
Используя компьютерную графику, мы проанализируем
первые открытия, которые позволили ранним цивилизациям
понять окружающий мир, мысля математически.
Это история математики.
BBC: The Story of Maths / История Математики e01 The Language of the Universe / Язык Вселенной русские субтитры TrueTransLate.tv
Наш мир создан из моделей и последовательностей.
Они окружают нас.
День сменяет ночь.
Животные распространяются по всей планете в вечно меняющихся формациях.
Природные ландшафты постоянно меняются.
Одной из причин возникновения математики была необходимость
понять значение всех этих природных моделей.
Самые основные понятия математики - расстояние и количество -
с момента рождения существуют в нашем сознании.
Даже у животных есть понятие расстояния и числа,
когда нужно оценить, стоит ли вступать в битву с враждебной стаей, или их слишком много, и надо бежать.
Или подсчитать, находится ли добыча на расстоянии атаки.
Элементарная математика могла определять - жить тебе или умереть.
Но именно человек принял эти базовые понятия
и стал основываться на этих математических принципах.
В какой-то момент люди стали определять модели,
чтобы установить взаимосвязь, сосчитать и упорядочить мир вокруг себя.
Вследствие чего начала вырисовываться абсолютно новая, математическая вселенная.
Это река Нил.
Она давала жизнь Египту на протяжении тысячелетий.
Я прибыл сюда, потому что здесь появились первые символы
зарождения математики, насколько нам известно на сегодняшний день.
Люди оставили кочевой образ жизни и стали обосновываться здесь еще с 6000 года до н.э.
Условия идеально подходили для сельского хозяйства.
Одним из важнейших событий для земледелия египтян был ежегодный разлив Нила.
Этот день в Египте считался и первым днем наступившего нового года.
Египтяне записывали все, что происходило в течении года,
так что, для того, чтобы создать подобный календарь,
нужно посчитать сколько дней, например,
прошло между фазами Луны,
или сколько дней прошло между двумя разливами Нила.
Ведение записей о характерных признаках времен года было весьма важным
не только для их земледелия, но и в религиозных обрядах.
Древние египтяне, обосновавшиеся по берегам Нила,
верили в речного бога Хапи, который ежегодно переполнял водой реку.
И в благодарность дающей жизнь воде
жители приносили в жертву часть урожая.
По мере расширения поселения возникла необходимость в его управлении.
Площади поселения нуждались в подсчете, урожайность - в прогнозировании,
налоги - в предписании и сборе.
Короче говоря, людям понадобилось считать и измерять.
Египтяне использовали собственное тело, чтобы измерить окружающий их мир,
и именно здесь появляются единицы измерения.
Пальма была толщиной с руку,
то есть в длину руки от локтя до пальцев.
Земельный локоть, отмеряющий 100 локтей,
использовался землемерами фараонов для подсчета площадей.
Существует строгая взаимосвязь между бюрократией
и развитием математики в древнем Египте.
И мы можем проследить эту связь с самого начала,
от изобретения счетной системы,
через всю историю Египта, серьезно.
У нас есть единственное подтверждение этой связи, относящееся к периоду Древнего царства,
это существование метрологических систем, то есть, систем измерения площадей и длин.
Их существование указывает на бюрократическую необходимость в развитии методов таких измерений.
Было жизненно важно знать площадь возделываемой земли, чтобы собрать с её хозяина соответствующий налог.
Или, чтобы в случае её уменьшения из-за разлива Нила, хозяин мог просить об уменьшении налога.
Это означает, что землемеры фараона часто занимались вычислениями
площадей земельных участков неправильной формы.
Именно потребность в решении таких прикладных задач
позволила им стать пионерами в области математики.
Древним египтянам был нужен какой-нибудь способ записи результатов своих вычислений.
Среди всех этих иероглифов, покрывающих разбросанные по всему Каиру сувениры для туристов,
я охотился за теми из них, которые обозначали числа, одни из первых в истории.
Их было трудно выследить.
Но в конце концов я их нашел.
10 пальцев на наших руках были причиной использования древними египтянами десятичной системы.
Единица обозначалась чертой,
число 10 обозначалось иероглифом "пятка", 100 - "петля верёвки", а 1000 - "лотос".
Сколько стоит эта футболка?
25 египетских фунтов.
- Двадцать пять? - Да. - Значит это будет 2 пятки и 5 черт.
- Значит, вы не будете загибать цену до сюда? - Вот до сюда - один миллион!
- Один миллион? - О Боже!
Вот это - один миллион.
Один миллион, да, это действительно много!
Иероглифы прекрасны, но числовая система древних египтян имела существенный изъян.
У них не было понятия числового разряда,
так что одним иероглифом "черта" можно было изобразить лишь единицу,
но не сотню и не тысячу.
И, хотя эта система позволяет записать миллион всего одним символом
вместо семи символов в привычной записи, для записи числа "миллион минус один"
бедному старому древнеегипетскому писцу понадобились бы 9 иероглифов "черта",
9 "пяток", 9 "петель верёвки", и так далее,
всего 54 символа.
Несмотря на этот недостаток числовой системы, древние египтяне превосходно решали задачи.
Нам это известно благодаря немногим сохранившимся записям.
Египетские писцы использовали листы папируса
для записи математических открытий.
Этот хрупкий, сделанный из тростника материал со временем разлагался
и уносил с собой в небытие много секретов древности.
Но один из раскрывающих такие секреты документов уцелел.
Математический папирус Райнда является самым важным документом
о древнеегипетской математике из тех, что сохранились.
Он дал нам исчерпывающее представление о том, с какими видами задач
приходилось сталкиваться древним египтянам в их математике.
Там есть подробное описание того, как производились операции умножения и деления.
В папирусах показано, как перемножить два больших числа.
Но для иллюстрации этого метода мы возьмём два числа поменьше.
Давайте перемножим 3 и 6.
Писец должен взять первое число, три, и расположить его в одном столбце.
Во втором столбце он должен поместить число один.
Затем ему нужно удваивать числа в каждом столбце, так что тройка становится шестёркой...
а 6 становится числом 12.
Затем во втором столбце единица становится двойкой,
а двойка становится четвёркой.
А теперь по-настоящему умный трюк.
Писец хочет перемножить 3 на 6.
Поэтому он выбирает во втором столбце такие степени двойки,
которые в сумме дают шесть. Это два плюс четыре.
Затем он возвращается к первому столбцу и просто выбирает
те ряды, которые соответствуют двойке и четвёрке.
Это числа 6 и 12.
Он их складывает и получает в ответе 18.
Для меня наиболее поразительным в этом методе
является то, что писец фактически разложил второе из чисел в двоичной системе.
Разложение шестёрки это единица в разряде четвёрок, единица в разряде двоек и пусто в разряде единиц.
То есть, 1-1-0.
Египтяне поняли значение двоичной системы счисления на три с лишним тысячи лет
ранее математика и философа Лейбница, которому ещё только предстоит раскрыть её потенциал.
Сегодня весь мир технологий основан на тех же принципах,
которые использовались в Древнем Египте.
Папирус Райнда был написан писцом по имени Ахмес примерно в 1650 году до н.э.
Задачи из этого папируса посвящены разрешению ситуаций, возникающих ежедневно.
В нескольких задачах упоминаются хлеб и пиво,
что не удивительно, ведь рабочим в Древнем Египте платили едой и питьём.
Одна из них о том, как разделить девять лепёшек
поровну между десятью людьми, не вызвав при этом драки.
У меня здесь девять лепёшек.
Я возьму пять из них и разрежу их пополам.
Конечно, девять человек могли отрезать по десятой части от своей лепёшки
и отдать эту кучу обрезков десятому человеку.
Но египтяне придумали куда более элегантное решение.
Возьмём остальные четыре лепёшки и разделим каждую из них на три части.
Но две из них я собираюсь сейчас разрезать на пять кусков так,
что каждый такой кусок составит пятнадцатую часть лепёшки.
После чего каждый человек получает одну половину,
одну треть
и одну пятнадцатую лепёшки.
Именно в этих, казалось бы, практических задачах
мы видим первые проблески развития более абстрактной математики.
Неожиданно на сцене появляются новые числа - дроби,
и уже вскоре древние египтяне займутся изучением математики этих чисел.
Понятие о дроби необходимо на практике, например, тем, кто, торгуя на рынке, постоянно делит свой товар.
Чтобы вести учёт таких сделок, египтяне придумали обозначения для записи этих новых чисел.
Одно из наиболее ранних обозначений таких дробей
произошло от иероглифа, имевшего большой мистический смысл.
Он назывался Глаз Хора.
Хор в эпоху Древнего Царства был богом, изображаемым наполовину человеком - наполовину соколом.
Согласно легенде, отец Хора был убит другим своим сыном, Сетом.
Хор решил отомстить убийце.
В одном чрезвычайно жестоком сражении
Сет вырвал у Хора глаз, разорвал его на части и разбросал их по Египту.
Но боги были благосклонны к Хору.
Они собрали разбросанные куски и восстановили глаз.
Каждая часть глаза изображает свою дробь.
Каждая следующая из этих дробей является половиной предыдущей.
Хотя исходное изображение глаза обозначает целое,
сумма дробей, изображаемых всеми его частями, меньше целого на 1/64.
И хотя египтяне остановились на 1/64,
в этом изображении подразумевается
возможность добавления других дробей,
уменьшаемых с каждым шагом вдвое. При этом их сумма приближается к единице всё ближе и ближе,
но никогда её не достигает.
Это первый намёк на понятие, называемое геометрической прогрессией,
и он повторяется в нескольких местах папируса Райнда.
Но понятие бесконечного ряда останется скрытым,
пока математики Азии не откроют его столетия спустя.
После разработки системы чисел, включающей эти новые дроби,
для египтян настало время применить свои знания
для понимания форм, с которыми они сталкивались каждый день.
Эти формы редко были правильными - квадратами или прямоугольниками,
вот и в папирусе Райнда мы видим область более естественной формы - круглой.
Что поражает в этих вычислениях
площади круга, так это их точность.
Нам остаётся лишь строить догадки, как они придумали свой метод вычислений,
ведь имеющиеся у нас тексты
об этом не сообщают.
Эти вычисления особенно интересны, поскольку они проистекают
из взглядов на то, как форма круга
может быть приближена формами, уже исследованными в Древнем Египте.
Папирус Райнда утверждает, что круглое поле
диаметром девять единиц
имеет площадь, близкую к площади квадрата со стороной восемь единиц.
Но как было найдено это соотношение?
Мне ближе теория, которая ищет ответ в древней игре "манкала".
Резные изображения досок для игры манкала были найдены на сводах храмов.
Каждый игрок начинает с одинаковым количеством камней,
смысл же игры в том, чтобы перекладывая камни по кругу,
попутно захватывать камни соперника.
Поскольку игроки сидели кругом, ожидая своего следующего хода,
возможно, один из них понял, что порой шарики заполняют круглые отверстия
игровой доски наиболее плотно.
Возможно, он начал экспериментировать, составляя круги большего размера.
Он мог заметить, что 64 камня, образующие квадрат со стороной 8,
можно расположить в виде круга с диаметром в девять камней.
Перестановкой камней круг был приближено составлен из частей квадрата.
А раз площадь круга в пи раз больше квадрата своего радиуса,
то расчет египтян дает нам первое точное значение числа пи.
Площадь круга составляет 64. Разделите это число на квадрат радиуса,
в данном случае 4,5 в квадрате, и вы получите значение числа пи.
Итак, 64 разделенное на 4,5 в квадрате дает число 3,16,
всего лишь на две сотые отличающееся от его истинного значения.
Но по-настоящему восхищает здесь то, что египтяне
используют эти малые части для изучения свойств целого.
Вот он - грандиозный и величественный символ египетской математики,
который мы ещё пока и не пытались разгадать -
пирамида.
Я видел уже так много её фотографий, что, казалось, они уже не могут меня поразить.
Но, встретившись с ними лицом к лицу, понимаешь почему в Древнем мире
их назвали одним из Семи Чудес света.
Они просто бесподобны!
И насколько более глубокое впечатление они, должно быть, производили тогда,
когда их стены были гладкими как стекло и сверкали на солнце.
Порой мне кажется, что под поверхностью пустыни скрываются зеркальные отражения пирамид,
дополняющие их форму до правильного октаэдра.
Иногда в пустынном мареве можно даже углядеть его очертания.
Именно идея симметрии, сокрытая в таких формах, делает их столь привлекательными для математиков.
От пирамиды всего один шаг до создания этих идеальных форм,
но кто-то увидел и другое важное математическое понятие,
скрытое в пропорциях Великой пирамиды - золотое сечение.
Две длины образуют золотое сечение, если отношение большей из них к меньшей
такое же, как отношение их суммы к большей длине.
С таким соотношением связано много идеальных пропорций,
как в природе, так и в мировых шедеврах
живописи и архитектуры.
Были ли архитекторы пирамид знакомы с этим понятием,
или же пришли к нему, инстинктивно следуя эстетическому восприятию, мы никогда уже не узнаем.
Мне кажется, что самое впечатляющее в пирамидах - это математический талант
их творцов, впервые использовавших идею
одной из величайших теорем Древнего мира - теоремы Пифагора.
Чтобы добиться идеальных прямых углов при строительстве пирамид и иных зданий,
египтяне воспользовались бы верёвкой с завязанными на ней узлами.
В какой-то момент египтяне осознали, что если взять треугольник с длинами сторон
в три, четыре и пять равных промежутков между узлами, то получится идеальный прямой угол.
Так получается потому, что 32+42=52.
Значит, этот египетский треугольник - прямоугольный.
На самом деле любой треугольник, длины которого связаны между собой таким равенством, будет прямоугольным.
Но я почти уверен, что египтяне не додумались
до такого серьезного обобщения своего треугольника.
Вряд ли нам удастся найти общее доказательство этой теоремы,
ведь это не в духе древнеегипетской математики.
У них каждая задача решалась в конкретных числах,
и если затем проводилась проверка,
то также для этих конкретных заданных чисел.
В древнеегипетских математических текстах общих доказательств не встречается.
Потребуется ещё 2000 лет, прежде чем греки и Пифагор
докажут, что длины сторон любого прямоугольного треугольника связаны этим равенством.
Это была не единственная математическая идея, предвосхищенная египтянами.
В документе 4000-летней давности под названием "Московский папирус" есть формула объёма
усечённой пирамиды, которая указывает на первое практическое применение идей, на которых основан математический анализ.
От известной своими пирамидами древнеегипетской цивилизации можно ожидать, что такие задачи
часто встречались в математических текстах.
Вычисление объёма усечённой пирамиды - одно из самых серьёзных,
по современным меркам, достижений
древнеегипетской математики.
Архитекторы и инженеры несомненно нуждались в такой формуле для того,
чтобы вычислить количество необходимых для постройки материалов.
Но сам изящный метод её доказательства
говорит о высоком уровне изобретательности древнеегипетских математиков.
Чтобы понять, как им удалось вывести эту формулу, рассмотрим для начала такую пирамиду,
вершина которой проецируется в одну из вершин основания.
Из трёх таких пирамид можно собрать прямоугольный параллелепипед,
поэтому объём косой пирамиды составляет треть объёма параллелепипеда.
То есть, он равен произведению высоты, длины и ширины, делённому на три.
А дальше следует рассуждение, в котором впервые используются методы математического анализа,
ещё за тысячи лет до того, как Готфрид Лейбниц и Исаак Ньютон заложили основы его теории.
Предположим, что вам удалось разрезать пирамиду на слои, тогда можно их сдвинуть так,
чтобы придать пирамиде симметричную форму, которую можно наблюдать в Гизе.
Объём пирамиды при таких сдвигах не меняется.
Поэтому применима та же формула для расчета объёма.
Древние египтяне были удивительными изобретателями,
их способность создавать новые разделы математики просто поражает.
Я считаю, что именно они впервые раскрыли возможности геометрии и чисел,
а также сделали первые шаги к некоторым из грядущих удивительных математических открытий.
Но была ещё одна цивилизация, развившая математику, достойную соперничать с древнеегипетской.
И нам известно гораздо больше об их достижениях.
Это город Дамаск, ему уже свыше 5000 лет,
но жизнь в нём кипит и сегодня.
Он был ключевым пунктом торговых путей, связывающих древнюю Месопотамию с Египтом.
С 1800 года до н.э. под властью Древнего Вавилона находилась большая часть современных Ирака, Ирана и Сирии.
Для того, чтобы расширять и поддерживать свою империю, они стали настоящими виртуозами в работе с числами.
Например, до нас дошёл свод законов,
в котором говорится об устройстве их общества.
Больше всего нам известно о писцах - людях, профессионально занимавшихся
письмом и счётом, ведших записи для богатых семейств, храмов и дворцов.
Школы писцов возникли примерно в 2500 году до н.э.
Писцов готовили с самого детства, обучая их читать, писать и работать с числами.
Писцы вели свои записи на глиняных табличках,
которые и позволили вавилонянам поддерживать и развивать свою империю.
Тем не менее, многие из дошедших до нас табличек - это не официальные документы, а детские упражнения.
Именно эти невзрачные находки позволили нам проникнуть в самую суть подхода вавилонян к математике.
Итак, это учебник по геометрии примерно XVIII века до н.э.
Надеюсь, вы можете разглядеть здесь множество рисунков.
Под каждым рисунком сформулирована связанная с ним задача.
Например, в этой задаче говорится: "Я нарисовал квадрат со стороной 60,
а внутри него я нарисовал круги. Какова их площадь?"
А эта маленькая табличка была написана, по крайней мере, через 1000 лет после той,
но между ними есть очень интересная связь.
На ней также нарисовано четыре круга,
вписанных в квадрат. Нарисованы они грубо, но это не учебник, а упражнение для школьников.
Учитель, взрослый писец, давал эту табличку
как образец чего-то вроде выполненного домашнего задания.
Как и египтяне, жители Вавилона проявляли интерес
к решению прикладных задач, связанных с измерением и взвешиванием.
Решения этих задач вавилонскими математиками записаны в форме математических рецептов.
Писцу просто понадобится двигаться последовательно и записывать ряд шагов, чтобы достичь результата.
Вот пример одной из типичных задач, которые они решали.
Здесь я взял связку палочек корицы, но я не собираюсь их взвешивать.
Вместо этого, я намерен взять их четырехкратный вес и добавить его на весы.
Сейчас я намерен добавить 20 джинн. Джинн являлся мерой веса в Древнем Вавилоне.
Здесь я собираюсь взять половину всей связки и затем добавить столько же.
Это две связки и десять джинн.
Всё, что находится с этой стороны, составляет ровно одну ману. Одна мана равнялась шестидесяти джиннам.
У нас получилось одно из первых в истории математических уравнений:
все, что находится с этой стороны, равно одной мане.
Но чему же равен вес связки палочек корицы?
При полном отсутствии алгебраического языка они были в состоянии
управлять величинами и смогли доказать, что палочки корицы весили пять джинн.
На мой взгляд, как раз такой тип задач и принес математике несколько дурную славу.
Вину за все те мучительные проблемы, с которыми вы сталкивались в школе, можно взвалить на древних вавилонян.
Но писцы Древнего Вавилона выходили за пределы задач этого типа.
Удивительно то, что они использовали возможности не десятичной системы, как египтяне, а шестидесятиричной.
Вивилоняне придумали собственную числовую систему, основанную, как и египетская, на счете на пальцах.
Но вместо счета с использованием десяти пальцев на своих руках,
жители Вавилона нашли более хитроумный способ подсчета с помощью частей тела.
Они использовали двенадцать суставов на одной руке
и пять пальцев на другой, чтобы отсчитать
12 раз по 5, что давало 60 разных чисел.
Например, это означало 2 в разряде двенадцати, то есть 24,
а это - раз, два, три, четыре, пять единиц, то есть в сумме 29.
Но число 60 обладает ещё одним серьёзным достоинством.
Оно имеет много делителей.
Вот 60 бобов.
Я могу расположить их в два ряда по 30.
В 3 ряда по 20.
В 4 ряда по 15.
В 5 рядов по 12.
Или же в 6 рядов по 10.
Это свойство числа 60 делает его идеальным основанием для системы счисления.
Шестидесятиричная система счисления оказалась настолько удачной, что мы до сих пор её используем.
Каждый раз, когда нужно узнать время, мы интересуемся шестидесятыми долями -
ведь в минуте 60 секунд, а в часе - 60 минут.
Однако важнейшей особенностью вавилонской числовой системы была значимость порядка цифр.
Как и в привычной нам десятичной системе, где есть разряды десятков, сотен и тысяч,
порядок цифр в вавилонской системе означал соответствующую им степень числа 60.
Вместо того, чтобы придумывать новые знаки для больших чисел,
они просто написали бы 1-1-1, что означало бы число 3600+60+1=3661.
Их подтолкнуло на это новшество желание начертить карту звёздного неба.
Древневавилонский календарь был основан на лунных циклах.
Они нуждались в способе записи по-настоящему астрономических чисел.
Месяц за месяцем, год за годом, они записывали свои наблюдения за луной.
Они вели список всех лунных затмений, начиная примерно с 800 года до н.э.
В то время вавилонская система мер была достаточно развитой.
У них была система угловых мер,
полный круг составлял 360 градусов,
каждый градус состоял из 60 угловых минут, а каждая угловая минута - из 60 угловых секунд.
То есть, у них была привычная нам система мер, и она прекрасно сочеталась с их числовой системой,
это было удобно не только для наблюдений, но и для вычислений.
Но для того, чтобы нормально работать с такими большими числами,
вавилонянам необходимо было изобрести новый символ.
И это их изобретение стало основой для одного из важнейших
прорывов в истории математики - изобретении нуля.
Сначала древние вавилоняне для обозначения отсутствующих цифр
внутри числа использовали просто пустое место.
Но тогда нужен способ показать, что на этом месте внутри числа ничего не стоит.
Поэтому они использовали знак пунктуации, наподобие ударения,
и он стал обозначать ноль внутри числа.
Именно так и в такой форме впервые в истории математики появилось понятие нуля.
Но пройдёт ещё более 1000 лет, прежде чем этот значок станет полноценным числом.
Изобретя столь сложную числовую систему,
они использовали её для укрощения засушливых и недружелюбных земель Месопотамии.
Инженеры и землемеры Древнего Вавилона придумали оригинальные методы
добычи воды и орошения полей с её помощью.
И вновь для этого они использовали математику.
Долина реки Оронт в Сирии всё ещё является центром мелиорации,
где используются старые методы орошения, как и тысячи лет назад.
Многие задачи вавилонской математики
были связаны с землемерием, и именно в них мы впервые встречаемся
с квадратными уравнениями - одним из величайших наследий математики Древнего Вавилона.
Говоря о квадратном уравнении, подразумевают, что неизвестная величина,
которую мы пытаемся найти, входит в него умноженной на саму себя.
Мы называем это возведением в квадрат, так как при этом получается площадь квадрата,
и именно при вычислении площадей земельных участков
такие уравнения возникают естественным образом.
Вот типичный пример такой задачи.
Если прямоугольное поле имеет площадь 55 квадратных единиц,
а одна из его сторон на 6 единиц больше другой,
то какова тогда длина меньшей из его сторон?
Решение древних вавилонян состояло в том, чтобы перекроить поле, придав ему форму квадрата.
Отрежем с этого конца полоску шириной в 3 единицы
и передвинем её сюда.
Теперь до полного квадрата нам не хватает участка 3 на 3, так давайте его добавим.
При этом площадь увеличилась на 9 квадратных единиц.
Значит, получился участок площадью в 64 квадратных единицы.
То есть, стороны этого квадрата имеют длину 8 единиц.
Но, замечают авторы решения, мы прибавили к этой стороне 3 единицы.
Поэтому исходная длина должна равняться пяти.
Это может показаться странным, но перед нами одно из первых в истории квадратных уравнений.
В наши дни мы воспользовались бы алгебраическим языком символов для решения этой задачи.
Удивительное искусство вавилонян состояло в том, что они использовали эти геометрические игры для её решения,
не привлекая символы и формулы.
Древние вавилоняне наслаждались самим процессом решения задач.
Они были просто влюблены в математику.
Их увлечение числами вскоре нашло отражение и в их досуге.
Они были азартными игроками.
Древние вавилоняне и их потомки
играют в нарды вот уже более 5000 лет.
Древние вавилоняне любили настольные игры:
от изысканных игр, найденных в царских гробницах, до скромных игр, остатки которых находили при раскопках школ,
и до игр, нацарапанных на полу у входов во дворцы,
так что охранники, должно быть, играли, когда им было скучно,
бросая кубики, чтобы перемещать по кругу свои фишки.
Игроки использовали числа, чтобы на досуге испытать и обхитрить своих соперников,
производя в уме быстрые вычисления,
и вот так, вычисляя на досуге,
они, сами того не понимая, выполняли трудную математическую работу.
Ну теперь мой шанс!
Я уже много лет не играл в нарды, но самоуверенно надеюсь, что мои математические способности дадут мне шанс на победу.
- Это вам решать. - Шесть... и мне нужно что-то убрать.
Но это было не так-то просто, как я думал.
Ах! Да что ж такое?
- Да уж. - Это раз, а это два.
Вот теперь у вас неприятности.
- Теперь я не могу ничем пойти. - Этими вы ходить не можете.
Вот блин!
Бросайте.
Три и четыре.
Как и древние вавилоняне, мои соперники - настоящие мастера математической тактики.
Да.
Положите туда. Хорошая игра.
Общепризнанно, что вавилоняне одни из первых
начали делать кубики, придавая им формы правильных многогранников,
но серьёзные споры возникают вокруг вопроса о том,
действительно ли они первыми открыли секреты другой важной геометрической фигуры.
Прямоугольного треугольника.
Мы уже видели, как египтяне использовали соотношение сторон 3-4-5 у прямоугольного треугольника.
Но вавилоняне обладали даже более глубокими знаниями об этой фигуре и других, ей подобных.
Перед нами наиболее на сегодняшний день известная и до сих пор вызывающая споры древняя дощечка.
Она называется Плимптон 322.
Многие математики убеждены, что она - доказательство того, что вавилонянам
могло быть хорошо известно общее свойство прямоугольных треугольников:
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов,
причём известно за сотни лет до того, как это открыли греки.
Это копия возможно самой известной вавилонской таблички,
которая называется Плимптон 322,
эти числа обозначают длины катетов прямоугольного треугольника,
эти обозначают его гипотенузу, а здесь должна была быть другая половина таблички,
квадраты чисел в этой колонке в сумме с квадратами соответствующих чисел в этой
дают квадрат гипотенузы.
Вавилоняне расположили эти длины катетов и гипотенуз разных прямоугольных треугольников в порядке строгого убывания их углов -
этот порядок говорит нам о том, что вавилонянам
было хорошо известно, как эти числа соотносятся.
Здесь указано 15 пифагоровых троек целых чисел, представляющих собой стороны прямоугольных треугольников.
Очень заманчиво считать, что вавилоняне были первыми хранителями знания о теореме Пифагора,
и этому соблазну поддались целые поколения историков.
Но этим пифагоровым тройкам есть, возможно,
и более простое объяснение.
Это не попытка отыскать все пифагоровы тройки,
просто какой-то учитель математики делал выкладки
с целью подобрать маленькие числа,
чтобы задать своим ученикам задачи о прямоугольных треугольниках,
и, в некотором смысле, пифагоровы тройки появились случайно.
Более веские улики, которые позволили бы судить об их знаниях, возможно, стоит искать в другом месте.
Эта маленькой школьной табличке около 4000 лет,
но она показывает, что именно было известно в Древнем Вавилоне о прямоугольных треугольниках.
В ней используется идея теоремы Пифагора для нахождения одного удивительного нового числа.
Число, написанное вдоль диагонали, является очень хорошим приближением квадратного корня из двух,
так что это число было известно даже школьникам.
Почему это важно?
Потому что корень из двух - это, как сказали бы мы сегодня, иррациональное число,
то есть, если записывать его в десятичной, или даже шестидесятиричной форме,
то оно будет продолжаться бесконечно.
Отсюда напрашиваются далеко идущие выводы.
Во-первых, это означает, что вавилонянам было что-то известно о теореме Пифагора
за 1000 лет до самого Пифагора.
Во-вторых, тот факт, что они смогли найти это число с точностью до четырёх десятичных знаков после запятой,
говорит об их удивительных способностях к арифметике и страсти к математической точности.
Мастерство вавилонских математиков было поразительным,
они стояли во главе научного прогресса Древнего мира в течение примерно 2000 лет.
Но когда мощь их империи пошла на убыль, это отразилось и на их интеллектуальной мощи.
Около 330 года до нашей эры греки расширили сферу своих имперских интересов на область Древней Месопотамии.
Это Пальмира в центральной Сирии - некогда великий город, построенный греками.
Для строительства зданий таких правильных геометрических форм необходимо просто поразительное математическое мастерство.
Как и ранее вавилоняне, греки были страстными поклонниками математики.
Греки были талантливыми колонистами.
Они брали всё самое лучшее от цивилизации, которую покоряли,
чтобы расширить свою собственную власть и влияние,
но при этом и сами охотно делились своими достижениями.
По моему мнению, их величайшее достижение состояло в изменении мышления.
То, что было начато ими, будет оказывать влияние на человечество в течении столетий.
Они дали нам силу доказательства.
Так или иначе, они решили, что должны пользоваться дедуктивной системой в своей математике,
а такая система обычно начиналась с принятия на веру некоего набора аксиом.
Это равносильно тому, что определенная теорема верна без доказательств.
А затем, шаг за шагом, с помощью логических переходов
с помощью этих аксиом доказываются теоремы,
и затем уже с помощью этих теорем доказываются новые теоремы - это как снежный ком.
Доказательство - как раз то, что придаёт математике её силу.
Сила доказательства состоит именно в том, что открытия греков
так же верны сегодня, как и 2000 лет назад.
Для того чтобы узнать больше, мне необходимо отправиться в самое сердце империи древних греков.
Лично для меня, греческая математика всегда была героической и романтичной.
Я на пути в Самос, менее чем в полутора километрах от побережья Турции.
Это место обычно связывают с рождением греческой математики,
а его легендарного жителя - с её расцветом.
Его имя Пифагор.
Легенды, связанные с его жизнью и деятельностью, способствовали
известности, которой он пользуется в течении последних 2000 лет.
Ему приписывается, верно это или нет, начало преобразования
математики, как средства для расчетов, в аналитическую дисциплину, какой мы знаем её сегодня.
Фигура Пифагора неоднозначна.
Поскольку он не оставил никаких математических трудов, неоднократно возникал вопрос,
доказал ли он на самом деле хотя бы одну из теорем, из тех что ему приписывают.
В шестом веке до нашей эры им была основана школа в Самосе,
но его преподавательская деятельность вызывала недоверие, и пифагорейцы считались эксцентричной сектой.
Есть достаточные основания считать, что существовали школы пифагорейцев,
которые, возможно, выглядели больше похожими на секты, чем на то, что в нашем понимании является философскими школами
поскольку они не просто давали знания, а также учили жизненной философии.
Там, вероятно, жили сообществом и, казалось, все были
вовлечены в политическую жизнь своих городов.
Исключительной для Древнего мира особенностью этих школ было то, что в них обучали женщин.
Но имя самого Пифагора ассоциируется с понятием, которое ускользнуло от египтян и вавилонян...
Свойства прямоугольных треугольников.
Утверждение, известное как теорема Пифагора, гласит:
если взять любой прямоугольный треугольник,
и возвести в квадрат длины всех сторон, тогда квадрат самой длинной стороны
равен сумме квадратов двух меньших сторон.
Лично для меня, именно здесь и рождается математика
и занимает свое место среди других естественных наук,
и доказательство, выводы которого одновременно являются такими простыми и такими удивительными.
Разместите на этой поверхности
четыре одинаковых прямоугольных треугольника.
Квадрат, который вы сейчас видите,
имеет стороны, равные гипотенузе треугольника.
Передвигая эти треугольники по поверхности,
мы видим, каким образом можно видоизменить площадь большого квадрата,
представив её в виде суммы квадратов меньшего размера,
стороны которых получены из двух коротких сторон треугольника.
Другими словами, квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов. Теорема Пифагора.
Это показывает одну из характерных особенностей греческой математики -
скорее восхищение красотой геометрических аргументов, нежели доверие к числам.
Пифагор мог впасть в немилость, многие его открытия
были не так давно оспорены, но есть одна математическая теория, которую я всё же склонен считать его собственной.
Она касается музыки и открытия гармонических рядов.
Говорят что, однажды, прогуливаясь неподалеку от кузницы,
Пифагор услышал удары по наковальне,
и заметил, что получавшиеся ноты звучали в совершенной гармонии.
Он полагал, что должно существовать определенное рациональное толкование,
которое объясняло, почему ноты звучали так божественно.
Ответ был найден с помощью математики.
Экспериментируя со струнным инструментом, Пифагор обнаружил, что интервалы
между гармонично звучащими нотами всегда представляют собой целые числа.
И как раз на этом он мог построить свою теорию.
Для начала сыграйте ноту на свободной струне.
Затем, прижмите струну по середине.
Эта нота звучит почти также, как и первая.
На самом деле, она на октаву выше, но правила говорят нам, что эти ноты называются точно также.
Теперь прижмите струну на трети.
Мы слышим ещё одну ноту, которая звучит гармонично вслед за двумя первыми,
но взята с длиной струны, которая не составляет с ними целочисленного соотношения, и мы получаем полный диссонанс.
Согласно легенде, Пифагор был так вдохновлен своим открытием,
что сделал вывод: вся вселенная построена из чисел.
Но такая картина мира скорее беспокоила его самого, а также его последователей.
Причиной возникновения беспокойства послужила теорема, которая названа в честь Пифагора.
Легенда гласит, что один из его последователей по имени Гиппас
решил отыскать длину диагонали
прямоугольного треугольника, обе стороны которого равнялись единице.
Теорема Пифагора подразумевала, что длина диагонали являлась числом, квадрат которого был равен двум.
Пифагорейцы предположили, что результат будет дробным,
но когда Гиппас попытался выразить его таким образом, то, несмотря на все его старания, это ему не удавалось.
Со временем он понял свою ошибку.
Она состояла в том, что предположение о дробном значении результата было полностью ошибочным.
Значение квадратного корня из двух являлось числом, запечатленным вавилонянами на табличке Яла.
Как бы то ни было, они не поняли особого свойства такого числа.
Но Гиппас сделал это.
Это число было иррациональным.
Открытие этого нового числа и других таких же - подобно открытию и освоению
нового континента или описанию натуралистом нового вида.
Но эти иррациональные числа никак не вписывались в пифагорейскую систему мира.
Поздние греческие историки рассказывают легенду о том, что Пифагор взял со своих последователей обет молчания,
но Гиппас разгласил эту тайну
и вскоре за это поплатился, утонув в морской пучине.
Такие математические открытия не так-то просто оставить в тайне.
На их почве по всей Греции начали расцветать философские и научные школы.
И самая известная из них - Академия.
Эту школу в Афинах основал Платон в 387 году до н.э.
И хотя сегодня он известен нам как философ, он занял видное место и в математике.
Платон был восхищён пифагорейским взглядом на мир
и считал математику основой всех знаний.
Есть мнение, что именно Платон оказал самое большое влияние
на наше восприятие древнегреческой математики.
Он доказывал, что математика - это важная форма знания,
и что она связана с реальным миром.
Так что, познавая математику, мы познаём и мир.
Платон в своём диалоге "Тимей" приводит тезис о том, что геометрия - это ключ к разгадке
тайн вселенной - с этим согласны и современные учёные.
Действительно, вся важность, которую придавал Платон геометрии,
заключена в надписи над входом в Академию: "Пусть не останется равнодушным к геометрии всякий, сюда входящий."
Платон считал, что всё во Вселенной составлено из пяти правильных симметричных форм.
Эти формы, называемые теперь платоновыми телами,
составлены из правильных многоугольников,
образующих симметричные трёхмерные объекты.
Тетраэдр представлял элемент огня.
Икосаэдр, составленный из 20 треугольников, представлял элемент воды.
Устойчивый куб представлял собой элемент Земли.
Октаэдр, со своими восемью гранями, представлял элемент воздуха.
А пятое платоново тело, додекаэдр,
составленный из 12 пятиугольников, обозначал пятый элемент,
вобравший в себя все представления Платона о Вселенной.
Теория Платона продолжала вдохновлять и потрясать воображение
математиков и астрономов на протяжении более чем 1500 лет.
Помимо выдающихся достижений Академии,
математика Древней Греции прославилась и успехами своей окраины,
унаследовавшей не меньше знаний от египтян, чем от греков.
Александрия стала центром математического просвещения во времена правления Птолемеев в III веке до н.э.,
и совсем скоро репутация её знаменитой библиотеки смогла соперничать с репутацией платоновской Академии.
Цари Александрии охотно жертвовали на искусства и ремёсла,
на развитие технологий, математики и грамотности,
ведь поддержка культурного развития
была одним из способов доказать своё превосходство над другими правителями
и давала больше прав называться великими.
Древняя библиотека была уничтожена со всем своим ценным содержимым,
когда мусульмане в VII веке захватили Египет.
Но её дух живёт в новом здании.
Сегодня библиотека остаётся местом учёбы и открытий.
Математики и философы со всего мира стекаются в Александрию,
окрыленные жаждой знаний и стремлением к совершенству.
Именно в этой древней библиотеке появились первые профессиональные учёные -
люди, получавшие деньги за своё верное служение науке.
Но из всех этих пионеров науки
больше всех мне нравится таинственный греческий математик Евклид.
Мы мало знаем о его жизни,
но величайший вклад в науку он сделал как летописец математики.
Примерно в 300 году до н.э. он написал самый великий учебник всех времён -
"Элементы". В его "Элементах"
мы видим кульминацию революции в математике,
которая произошла в Греции.
Изложение в книге построено на системе математических допущений, называемых аксиомами.
Например, "через любые две точки можно провести прямую".
Далее, исходя из этих аксиом, путём логического вывода доказываются теоремы.
"Элементы" содержат формулы для вычисления объёмов конусов и цилиндров,
доказательства теорем о геометрических прогрессиях,
о совершенных и простых числах.
Наивысшим достижением "Элементов" стало доказательство существования ровно пяти платоновых тел.
По моему мнению, эта теорема улавливает всю мощь математики.
Одно дело просто построить пять симметричных тел,
и совсем другое - неопровержимым логическим рассуждением показать, что шестого такого тела не существует.
Повествование в "Элементах" разворачивается как в удивительном и таинственном логическом рассказе.
Этот рассказ находится вне времени.
Одна за другой рушатся научные теории,
но теоремы из "Элементов" остаются верными сегодня, как и 2000 лет назад.
Если вы задержитесь на минуту, чтобы об этом подумать, то поймёте, насколько это поразительно.
Именно эти теоремы мы изучаем в школе.
Мы можем изучать их немного иначе, в другой последовательности,
но это всё та же геометрия Евклида, которая всё так же верна,
и даже в высшей математике, при переходе к многомерным пространствам
мы также пользуемся геометрией Евклида.
Вполне возможно, что Александрия вдохновляла древних учёных,
а слава Евклида привлекала сюда всё больше молодых энергичных умов.
Одним из таких математических умов, наслаждавшихся атмосферой научных открытий в Александрии, был Архимед.
Ему суждено было стать математическим провидцем.
Лучшие математики Древней Греции всегда пытались раздвинуть горизонты сознания,
преодолевая все преграды.
Поэтому Архимед
упорно занимался многоугольниками
и объёмными телами.
Потом он занялся нахождением центров тяжести.
Потом - изучением свойств спиралей.
Этот инстинкт математизации всего вокруг,
по моему мнению, является врождённым.
Помимо прочего, Архимед был специалистом и в области орудий массового поражения.
Их использовали против римлян, вторгшихся в Сиракузы в 212 году до н.э.
Он также изобрёл зеркала, которые подожгли римский флот,
используя энергию солнца.
Но для Архимеда это были лишь геометрические забавы.
Предмет его амбиций был более возвышен.
Архимед был восхищен чистой математикой, и верил в смысл её изучения ради неё самой,
а не ради презренной торговли или создания механизмов на заказ для получения прибыли.
Одно из лучших его исследований в чистой математике
посвящено отысканию формул для площадей фигур правильной формы.
Его метод состоял в том, чтобы использовать уже изученные фигуры для исследования новых фигур.
Например, чтобы найти площадь круга,
он вписал бы этот круг в треугольник, а затем, удваивая в треугольнике количество сторон,
стремился приблизить форму получающейся фигуры к кругу.
И правда, мы ведь иногда даже называем круг
многоугольником с бесконечным числом сторон.
Но, вычисляя площадь круга, Архимед на самом деле
получает значение числа пи - важнейшую математическую величину.
Так или иначе, Архимед прославился именно своим подсчётом объёмов тел.
Он нашел способ вычислить объём сферы,
разделяя её на слои и приближенно представляя каждый слой в виде цилиндра.
Затем он сложил объёмы этих слоёв,
тем самым получая приближенное значение объёма сферы.
Но поистине гениальным было увидеть, что происходит
если делать эти слои все тоньше и тоньше.
В своем пределе приблизительное значение становится точным.
Но этот долг Архимеда математике так и остался неоплаченным.
Архимед был занят решением задачи о начерченных на песке кругах.
Когда к нему обратился солдат-римлянин,
Архимед был так поглощен этой задачей, что настаивал, что ему следует завершить доказательство теоремы.
Но римский солдат не заинтересовался задачей Архимеда и тут же убил его.
Даже перед лицом смерти поражала преданность Архимеда математике.
С середины I века до нашей эры,
римляне распространили свое господство на империю Древних греков.
Они не были склонны просто восхищаться красотой математики
и более интересовались её практическим применением.
Такой прагматичный подход предупреждал о начале конца великой Александрийской библиотеки.
Но один математик был призван сохранить жизненную силу наследия греков.
Ипатия была единственной в своем роде женщиной-математиком,
и язычницей в религиозной Христианской Римской империи.
В свое время Ипатия пользовалась большим уважением и была весьма влиятельна.
У неё было огромное количество учеников и последователей.
В Александрии она обладала политическим влиянием.
Так что такое сочетание...
высокообразованности и влиятельности, возможно, сделало её
ненавистной фигурой...
для христианской толпы.
Однажды утром во время Великого поста беснующаяся христианская толпа
стащила Ипатию с её колесницы и поволокла в церковь.
Там её мучили и затем зверски убили.
Полные драматизма обстоятельства её жизни и смерти
произвели сильное впечатление на последующие поколения.
К сожалению, её культовый статус заслонял её математические достижения.
На самом деле, она была талантливым преподавателем и теоретиком,
и её смерть нанесла окончательный удар по математическому наследию греков в Александрии.
Мои странствия превратились в удивительное путешествие, открывающее
страсть и новаторство первых математиков нашего мира.
Эти открытия, совершенные первопроходцами из Египта, Вавилона и Греции,
представляют собой основы, на которых и построена современная математика.
Но это лишь начало моей математической одиссеи.
Далее мой путь лежит на восток, в центральную Азию,
где математики достигли даже более значительных высот
в поисках знания.
С началом новой эры появился новый язык алгебры и чисел,
более подходящий для написания следующей главы в истории математики.
Об истории математики можно узнать больше
на сайте Открытого университета www.open2.net
Тайминг MVGroup.org Перевод Truetranslate.tv Редакторы Irina73, IamCrazy, Betelgeuse_990, cepylka, kot_xydozhnika, gromitt
Переведено на сайте www.notabenoid.com Переводчики: Betelgeuse_990, gromitt, cepylka, Irina73, kot_xydozhnika