От измерения времени до понимания нашего места во вселенной,
от составления карт Земли до морской навигации,
от самых ранних изобретений человека до современных передовых технологий,
математика всегда была той основой, на которой держится мир.
Первые шаги на долгом пути развития математики
были сделаны древними культурами Египта, Месопотамии и Греции -
цивилизациями, заложившими основы языка чисел и вычислений.
Однако, когда Древняя Греция пришла в упадок,
математический прогресс приостановился.
Так было на Западе.
На Востоке же, напротив, математика стремительно достигала новых высот.
На Западе значительная часть математического наследия
была благополучно забыта или ей не уделяли внимания.
Величайшие математические открытия, которые в конечном счёте изменили наш мир,
не были удостоены должного внимания.
В этой серии я расскажу о малоизвестных фактах в истории развития математики на Востоке,
которые существенно повлияли на Запад и привели к рождению современного мира.
BBC: The Story of Maths / История Математики e02 The Genius of the East / Гений Востока русские субтитры TrueTransLate.tv
Великая китайская стена тянется на тысячи километров.
Это грандиозное сооружение начали строить в 220 г. до нашей эры
для защиты молодой империи Цинь и продолжали строить почти 2000 лет.
Великая Стена, образец поразительного инженерного искусства,
построена в суровой горной местности.
Начиная строить Стену,
древние китайцы понимали, что возникнет необходимость в вычислении
расстояний, углов, количества строительных материалов.
Поэтому не удивительно,
что в строительстве приняли участие талантливые математики.
Суть древнекитайской математики
составляла удивительно простая система счисления,
ставшая основой метода расчетов, который в наши дни применяется на Западе.
Чтобы вычислить сумму, математики брали маленькие бамбуковые палочки,
и клали их в определённом порядке, чтобы представить числа от 1 до 9.
Затем их раскладывали по столбцам,
каждый из которых представлял разряды единиц, десятков,
сотен, тысяч и т.д.
Таким образом, чтобы изобразить число 924 нужно поместить
символ числа 4 в столбец единиц, символ числа 2 в столбец десятков
и символ числа 9 в столбец сотен.
Такой способ называется позиционной десятичной системой,
и он очень похож на тот, который мы применяем сегодня.
Мы так же используем цифры от 1 до 9 и пользуемся их позицией,
чтобы показать - единицы ли это, десятки, сотни или тысячи.
Преимущество этой системы состоит в высокой скорости счёта,
и то, как древние китайцы производили вычисления,
очень похоже на метод, который изучается в современной школе.
Древние китайцы были далеко не первыми,
кто применил позиционную десятичную систему,
только сделали они это более, чем за тысячу лет до того, как мы применили её на Западе.
Однако, они использовали её только для расчётов с помощью палочек.
При записи чисел
древние китайцы не пользовались позиционной системой.
Вместо этого они применяли гораздо более трудоемкий способ,
в котором десятки, сотни, тысячи и т.д. обозначались специальными символами
Этим способом число 924 должно быть записано
как девять сотен, два десятка и четыре.
Не слишком-то удобно.
Причина заключалась в том
что у древних китайцев не было понятия нуля.
И у них не было символа нуля. Такого числа просто не существовало.
Там, где сегодня мы написали бы ноль,
они, используя счётные палочки, оставили бы пропуск.
Однако при попытке записи чисел возникает проблема, для решения которой
пришлось придумывать обозначения для десятков, сотен и тысяч.
Не имея нуля, можно было записывать только не слишком большие числа.
Тем не менее, его отсутствие не помешало древним китайцам
совершить гигантские шаги в математике.
Можно утверждать, что жители Древнего Китая
очень увлекались числами.
Согласно легенде, первый правитель Китая,
Желтый Император, обязал одного из своих божественных покровителей
создать математику в 2800 году до Нашей эры, исходя из того,
что числа несут в себе всеобъемлющий смысл. И по сей день китайцы верят
в мистическую силу чисел.
Нечётные числа считаются мужскими, чётные - женскими.
Числа четыре следует избегать во что бы то ни стало.
Число восемь приносит удачу.
Кроме того, к числовым закономерностям древних китайцев привело
совершенствование их собственного, возможно самого раннего, варианта судоку.
Он назывался магическим квадратом.
Легенда гласит, что тысячи лет назад императора Ю посетила
священная черепаха, вышедшая из глубин Желтой реки.
На её панцире располагались числа,
упорядоченные в виде магического квадрата, немного похожего на этот.
Считалось, что он имел большое
религиозное значение:
в этом квадрате сумма чисел в каждой строке, каждом столбце
и на обеих диагоналях одинакова и равна 15.
В наши дни магический квадрат - не более чем забавная головоломка,
но он показывает насколько древние китайцы были очарованы
математическими закономерностями. Очень скоро они создали
магические квадраты гораздо больших размеров,
которым придавали ещё больший математический и магический смысл.
Математика также играла
значительную роль в жизни императорского двора.
Календарь и движение планет
были крайне важны для императора:
от них зависели все его решения, и распорядок дня.
По этой причине большое значение при дворе приобрели астрономы,
а астрономы всегда были математиками.
Всё в жизни императора происходило согласно календарным датам,
и он вершил свои дела с математической точностью.
Император даже поручил своим математическим советникам
разработать систему, которая помогла бы ему "справиться"
с большим количеством женщин в его гареме.
Чтобы ни одна из них не осталась без внимания, советники решили
взять за основу идею, известную как геометрическая прогрессия.
Никогда прежде математикам не ставили столь забавную задачу!
Согласно легенде, в течении пятнадцати ночей,
император должен был посетить 121 женщину...
...императрицу,
троих старших жен,
девять рядовых жен,
27 наложниц
и 81 рабыню.
Математики быстро сделали вывод,
что это геометрическая прогрессия - последовательность,
в которой каждое следующее число является произведением предыдущего
на одно и то же число - в данном случае, три.
Каждая следующая группа женщин в три раза больше предыдущей,
и математики смогли быстро составить график, который гарантировал,
что за 15 ночей
император переспит с каждой женщиной в гареме.
Первая ночь была предназначена для императрицы.
Следующая - для трёх старших жен.
Затем наступала очередь девяти обычных жён,
после чего следовали 27 наложниц группами по девять каждую ночь.
Наконец, в течение девяти ночей
император встречался с 81 рабыней - с девятью каждую ночь.
Конечно, чтобы быть императором требовалась определенная выдержка,
это немного похоже на то, как быть математиком,
но цель очевидна -
обеспечить наилучшую из возможных последовательность визитов императора.
Расписание гарантировало, что император
спал с дамами высшего ранга наиболее близко к периоду полнолуния,
когда их женская сила - инь
была бы максимальной и соответствовала его мужской силе - янь.
Математике подчинялся не только императорский двор.
Она играла очень важную роль в управлении государством.
Древний Китай был огромной и растущей империей со строгим законодательством,
всеобщим налогообложением,
единой системой мер и весов и денежной единицей.
Империи требовались
математически грамотные, хорошо подготовленные чиновники.
Для их обучения служил "Трактат о вычислениях в девяти книгах",
который был создан примерно в 200 г. до нашей эры.
В книге собрано 246 практических задач,
из области торговли, выплаты жалования и сбора налогов.
В основе этих задач лежит
одна из главных тем математики - решение уравнений.
Уравнения немного похожи на запутанные кроссворды.
Имея определённую информацию
о нескольких неизвестных величинах,
требуется определить их значение.
Например, с помощью весов
я выяснил, что одна слива...
и три персика...
вместе весят 15 грамм.
В то же время...
...две сливы
и один персик
вместе весят 10 грамм.
Исходя из этого, можно определить, вес одной сливы
и одного персика, и вот как это делается.
Если взять первый набор -
одну сливу и три персика - весом 15 грамм, дважды,
то две сливы и шесть персиков будут весить 30 грамм.
Если вычесть из него второй набор,
две сливы и персик, которые весили 10 грамм,
то получится весьма интересный результат -
никаких слив.
Исключив сливы,
можно обнаружить, что пять персиков весят 20 грамм -
следовательно один персик весит 4 грамма,
из чего можно сделать вывод, что слива весит 3 грамма.
Древние китайцы продолжили применять подобные методы
для все большего и большего числа неизвестных,
пользуясь ими для решения уравнений всё возрастающей сложности.
Что удивительно,
эта особая система решения уравнений
не была известна на Западе до начала XIX столетия.
В 1809 году, анализируя орбиту астероида Паллада,
Карл Фридрих Гаусс,
которого позже назовут "королём математики",
вновь открыл этот метод,
разработанный в древнем Китае на несколько столетий раньше.
И снова древний Китай опережает Европу.
Китайцы продолжали решать
и более сложные уравнения с большим числом неизвестных.
В так называемой "китайской теореме об остатках"
они подошли к решению нового типа задач.
В данном случае, нам известно число, которое останется
от деления неизвестной переменной на известные числа -
скажем, три, пять или семь.
Конечно же, это лишь абстрактная математическая задача,
хотя древние китайцы решали ее в практических целях.
Допустим, у торговки на рынке есть лоток с яйцами,
но она не знает, сколько их у неё.
Однако, она определенно знает, что если разложить их по три,
то в остатке останется одно яйцо.
Если разложить по пять, то останется два яйца.
Если же в каждом ряду будет по семь яиц,
то в остатке окажется три.
Древнекитайские математики нашли способ определить,
что наименьшее количество яиц, которое могло бы быть у торговки, это 52.
Это удивительно, что можно вычислить
такое большое число, как 52,
с помощью таких малых чисел, как три, пять и семь.
Подобный взгляд на числа
будет преобладать в течение двух последних столетий.
В 6 веке нашей эры с помощью теоремы об остатках
в Китае рассчитывали движение планет.
Но и сегодня она используется в практических целях.
Способ шифрования данных в Интернете
основан именно на этой теореме.
К 13-му столетию
математика прочно утвердилась в курсах обучения
более чем тридцати школ, разбросанных по всей стране.
В Китае наступил золотой век математики,
и наиболее известного математика звали Цинь Цзю-шао.
Предание гласит, что этот человек был негодяем -
продажным имперским чиновником,
который изъездил всю страну, занимая то одну, то другую должность.
Его не раз лишали должности за хищение государственных денег,
и он травил любого, кто решался встать на его пути.
По мнению современников Цинь Цзю-шао считался
"сильным, как тигр или волк,
и ядовитым, как гадюка или скорпион",
так что неудивительно, что он был и свирепым воином.
В течение десяти лет он воевал против монгольского вторжения,
но большую часть этого времени он жаловался, что его военная жизнь
удерживала его от истинной страсти.
Нет, не от коррупции - от математики.
Цинь Цзю-шао приступил к решению уравнений,
пытаясь измерить мир вокруг нас.
Квадратные уравнения содержат переменные,
которые возведены в квадрат или во вторую степень - например, пять раз по пять.
Древние месопотамские математики
уже поняли, что такие уравнения
превосходно подходили для измерения поверхности двумерных фигур,
таких как площадь Тяньаньмынь.
Но Цинь Цзю-шао интересовали
ещё более сложные уравнения - кубические,
которые содержат числа, возведенные в куб,
или в третью степень, например - пять раз по пять раз по пять,
а они как раз подходили для измерения объёмных фигур,
таких как мавзолей председателя Мао.
Цинь Цзю-шао нашел способ решения кубических уравнений,
и вот в чём состояла его суть.
Допустим, Цинь Цзю-шао хочет узнать
точные размеры мавзолея председателя Мао.
Он знает объём здания
и соотношения между его размерами.
Для того, чтобы получить ответ на свой вопрос,
Цинь Цзю-шао использует начальные данные, чтобы составить кубическое уравнение.
Затем делает эмпирическую оценку размеров.
Хотя он и учёл почти весь объём мавзолея,
по-прежнему кое-что осталось.
С учётом этих излишков Цинь Цзю-шао составляет новое кубическое уравнение.
Теперь он может уточнить своё первое предположение,
пытаясь найти решение этого нового кубического уравнения, и так далее.
Каждый раз, когда он это делает, объём неучтенной части
становится меньше, а его предположения - точнее.
Поразительно то, что способ Цинь Цзю-шао для решения уравнений
не был известен на Западе вплоть до 17-го века,
когда Исаак Ньютон предложил похожий метод последовательных приближений.
Преимущество такого подхода состоит в том,
что его можно использовать и для решения более сложных уравнений.
Цинь применял его даже для решения уравнений,
содержащих переменные в десятой степени.
Это было весьма необычно и выглядело как математика высокой степени сложности.
Цинь Цзю-шао, вероятно, на многие годы опередил свое время,
но его метод обладал одним недостатком.
Он давал лишь приближённое решение,
которое вполне могло бы устроить инженера, но не математика.
Математика - это точая наука. Нам по душе точность,
и Цинь Цзю-шао просто не смог получить формулу,
дающую ему точное решение этих сложных уравнений.
Китай совершил огромный скачок в развитии математики,
но следующий грандиозный математический прорыв произошёл
в расположенной на юго-западе от Китая стране,
имевшей богатые математические традиции
и изменившей лицо математики навсегда.
Первый весомый вклад Индии в математику приходится на область чисел.
Как и китайцы, индийцы обнаружили математические преимущества
позиционной десятичной системы
и применяли её, начиная с середины 3-го столетия нашей эры.
Предположительно, индийцы узнали об этой системе
от приезжавших в Индию китайских купцов с их счётными палочками,
однако, они могли просто натолкнуться на неё и сами.
Все это случилось так давно, что окутано тайной.
Возможно, мы никогда не узнаем, как индийцы пришли к этой числовой системе,
но мы все-таки знаем, что они усовершенствовали и улучшили её,
создавая первые изображения для девяти цифр, используемых сейчас повсеместно.
Многие рассматривают индийскую систему счёта,
как одно из величайших интеллектуальных изобретений всех времен,
ставшее ближе всего к тому, что можно было бы назвать универсальным языком.
Однако, одного числа не хватало,
и именно индийцы ввели его в повсеместное употребление.
Самая ранняя запись этого числа датируется девятым веком,
хотя, возможно, ранее его уже применяли на практике в течение нескольких веков.
Эта необычная новая цифра высечена на стене
маленькой башни форта Гвалиор в центральной Индии.
Сейчас мы находимся в одном из священных мест мира математики,
и то, что я ищу, находится в этой надписи на стене.
На ней несколько чисел и...
здесь есть новое число.
Это ноль.
Вызывает удивление, что до введения нуля в обиход индийцами
такого числа не было вовсе.
Для древних греков оно просто не существовало.
У египтян, жителей Месопотамии и, как мы уже видели, китайцев,
ноль был в обиходе, но только занимал место: его обозначали
не цифрой, а пробелом.
Индийцы же превратили ноль из пробела
в число, придав ему смысл,
пригодный для вычислений и исследований.
Это выдающееся фундаментальное достижение в корне изменит математику.
Теперь, с уже десятью цифрами - от нуля до девяти, внезапно стало возможным
записывать астрономически большие числа
очень удобным способом.
Но почему же индийцы совершили этот впечатляющий скачок?
Скорее всего, мы никогда не узнаем этого наверняка,
но, возможно, идея и символ для нуля возникли
у индийцев благодаря вычислениям с помощью камней на песке.
Когда при вычислениях камень убирали,
на его месте оставался маленький круглый след,
показывающий как нечто переходит в ничто.
Но, вероятно, есть также и определенная культурная предпосылка создания нуля.
Понятия древних индийцев "ничто" и "вечность"
находились в самом центре их религиозной системы.
Согласно религиям Индии, вселенная была рождена из ничего,
и "ничто" - это конечная цель человечества.
Так что не удивительно,
что культура, которая так восторженно приняла пустоту,
должно быть радовалась и понятию нуля.
Индийцы даже воспользовались словом, обозначающим философскую идею пустоты, -
"шунья", чтобы выразить новое математическое понятие - "ноль".
В седьмом веке талантливый индийский математик Брахмагупта
доказал некоторые из основных свойств нуля.
Правила Брахмагупты о вычислениях с нулем
до сих пор изучаются в школах всего мира.
Единица плюс ноль равняется единице.
Единица минус ноль равняется единице.
Единица, умноженная на ноль, равна нулю.
Но Брахмагупта потерпел неудачу, когда попытался разделить единицу на ноль.
Все-таки, какое число при умножении на ноль даёт единицу?
Для того чтобы деление на ноль обрело смысл,
потребуется новая математическая концепция - концепция бесконечности,
и это открытие было сделано индийским математиком 12-го столетия,
по имени Бхаскара II. Суть открытия такова.
Если я беру фрукт и делю его пополам, то получаю две части,
поэтому единица, разделённая на 1/2, - это два.
Если я делю его на три, то получаю три части.
Таким образом, когда я делю его на всё меньшие и меньшие доли,
то получаю всё больше и больше частей, так что, в конечном счете,
когда я разделю на долю,
размер которой равен нулю, то получу бесконечно много частей.
Итак, для Бхаскара единица, разделенная на ноль - это бесконечность.
Но в своих вычислениях с нулём индийцы пойдут ещё дальше.
Например, если из трёх вычесть три, то получится ноль,
а сколько получится, если их трёх вычесть четыре?
Похоже, что получится "ничто",
но индийцы поняли, что это
особый вид "ничего" - отрицательные числа.
Индийцы назвали их "долгами", поскольку решаемые ими уравнения выглядели так:
"Если у меня есть три партии товара и я заберу четыре,
то сколько у меня останется?
Это может выглядеть странным и непрактичным,
но в этом и заключалась красота индийской математики.
Их способность оперировать отрицательными числами и нулём
обуславливалась их абстрактными представлениями о числах.
Числа предназначались не только для расчетов и измерения отрезов ткани.
У них была своя собственная жизнь, проходящая здесь, в нашем мире.
Это привело к взрывному появлению новых математических идей.
Абстрактный подход индийцев к математике в скором времени показал
новую сторону проблемы решения квадратных уравнений.
Это уравнения, которые содержат числа во второй степени.
Понимание Брахмагуптой отрицательных чисел, позволило ему увидеть,
что квадратные уравнения всегда имеют два решения,
одно из которых может быть отрицательным.
Брахмагупта пошёл даже дальше,
решая квадратные уравнения с двумя неизвестными -
задачу, которая на Западе не будет рассматриваться вплоть до 1657 года,
когда французский математик Ферма,
бросил своим коллегам вызов, связанный с этой же самой проблемой.
Он совсем не знал, что решение уже было найдено
Брахмагуптой на тысячу лет раньше.
Брахмагупта начал поиск абстрактных методов решения уравнений,
но удивительно то, что он также развивал
новый математический язык для выражения такой абстракции.
Брахмагупта экспериментировал, используя при записи уравнений
первые буквы названий различных цветов
для обозначения неизвестных.
Так рождался новый математический язык,
который в итоге приведёт к "иксам" и "игрекам",
заполняющим современные математические журналы.
Однако, была разработана не просто новая форма записи.
Индийским математикам принадлежали
новые фундаментальные открытия в области тригонометрии.
Суть тригонометрии в том, что она подобно словарю
позволяет "перевести" параметры геометрических фигур в числа и наоборот.
Хотя изначально она была разработана древними греками,
благодаря именно индийским математикам
она достигла своего истинного расцвета.
Объект изучения тригонометрии - прямоугольные треугольники.
В тригонометрии можно использовать этот угол
для поиска отношений противоположной стороны к наиболее длинной стороне.
Эта функция, названная функцией синус,
позволяет по известной величине угла определить отношение сторон.
Например, в этом треугольнике угол равен примерно 30-ти градусам,
синус такого угла равен 1/2,
и это говорит о том, что данная сторона составляет половину наибольшей стороны.
Функция синус позволяет вычислять расстояния,
когда нет возможности провести точное измерение.
В наши дни она находит применение в архитектуре и инженерном деле.
Индийцы пользовались ею, чтобы производить замеры окружающих земель,
для морской навигации, и даже для составления карт далёкого космоса.
Она являлась основной в работе обсерваторий,
таких, как эта в Дели,
где астрономы изучали звезды.
Индийские астрономы смогли воспользоваться основами тригонометрии,
чтобы определить соотношение между расстояниями от Земли до Луны
и от Земли до Солнца.
Нужно лишь выполнить расчёт в то время, когда видна половина Луны,
поскольку именно в этот момент она находится прямо напротив Солнца,
а Солнце, Луна и Земля образуют прямоугольный треугольник.
Таким образом, индийцы смогли измерить,
что угол между Луной, Солнцем и обсерваторией
составляет одну седьмую градуса.
Функция синус от одной седьмой градуса
соответствует отношению 1:400.
Это означает, что Солнце в 400 раз дальше от Земли чем Луна.
Таким образом, тригонометрия
позволила индийским математикам изучать Солнечную систему,
не покидая поверхности Земли.
Древние греки первыми изучили функцию синуса,
составив список точных значений для некоторых углов,
но они не смогли вычислить синус для всех углов.
Индийцы пошли ещё дальше, поставив перед собой серьёзную задачу.
Их целью было найти способ
вычисления функции синуса любого произвольного угла.
Прорыв в исследовании функции синуса любого угла
будет сделан здесь, в Керале на юге Индии.
В 15-м веке эта часть страны
стала родиной для самой выдающейся из когда-либо существовавших
математических школ.
Её возглавлял Мадхава, который совершил
несколько выдающих математических открытий.
Ключом к успеху Мадхавы была идея бесконечности.
Мадхава обнаружил, что операция бесконечного сложения
приводит к поразительным результатам.
Прежние культуры были несколько обеспокоены такими бесконечными суммами,
но Мадхава находил удовольствие в том, чтобы экспериментировать с ними.
К примеру, вот как можно получить единицу
путем сложения бесконечного количества дробей.
Я направляюсь на моей лодке из пункта "ноль" в пункт "единица",
но я могу разбить своё путешествие на бесконечное число частей.
Итак, я могу проплыть половину,
затем я могу проплыть четверть,
затем одну восьмую, одну шестнадцатую и так далее.
Чем меньше дробные значения, на которые я перемещаюсь, тем ближе я к единице,
но я достигну её только когда сложу бесконечное количество дробей.
С точки зрения физики и философии,
сложение бесконечного числа вещей выглядит скорее невозможным,
но сила математики и состоит в том, что она объясняет невозможное.
Если создать язык
для определения понятия бесконечности и выполнения операций с нею,
то можно доказать, что после бесконечного числа шагов
цель будет достигнута.
Такие бесконечные суммы называются бесконечными рядами, и Мадхава
сделал очень многое для изучения связей
между этими рядами и тригонометрией.
Сперва он понял, что можно использовать тот же принцип
сложения бесконечного количества дробей для получения
одной из наиболее важных математических величин - числа пи.
Пи - это отношение длины окружности к её диаметру.
Это число, которое используется во всех разделах математики,
но особенно необходимо инженерам,
поскольку для любых измерений, относящихся к кривым, требуется число пи.
Поэтому, математики столетиями искали точное значение числа пи.
В шестом веке, в Индии, математиком Ариабхатой
было получено очень точное приближение для пи, а именно 3,1416.
С его помощью
он измерил длину окружности Земли
и получил величину 39960 километров.
Удивительно, но это лишь на 113 километров отличается от её истинного значения.
Именно в Керале, в 15 веке
Мадхава понял, что можно использовать понятие бесконечности,
для вычисления точного значения числа пи.
Последовательно складывая и вычитая различные дроби,
Мадхава смог получить точную формулу для пи.
Для начала, он переместился на четыре шага по линии чисел.
Что дало ему расстояние большее, чем пи.
Затем, он сделал четыре третьих шага,
или одну целую и одну треть шага назад.
Теперь он ушел слишком далеко в противоположную сторону.
Поэтому он направился вперед на четыре пятых шага.
Каждый раз,меняя направление,он двигался на число шагов, равное четырём, деленным на следующее нечетное число.
Перемещаясь по числовому ряду вперёд и назад,
он становился всё ближе и ближе к числу "пи".
Он обнаружил, что если перебрать бесконечное количество нечётных чисел,
то можно получить точное значение пи.
В университете меня учили, что эта формула для вычисления числа пи
была открыта в 17-ом столетии немецким математиком Лейбницем.
Однако, на самом деле она была получена Мадхавой
здесь, в Керале, за двести лет до этого.
Он использовал этот же математический метод
для вычисления тригонометрической функции синуса
в виде бесконечного ряда.
Самое замечательное заключается в том, что эти формулы можно использовать и сейчас
для вычисления синуса произвольного угла с любой заданной точностью.
Кажется невероятным, что индийцы совершили эти открытия
за несколько столетий до западных математиков.
И это однозначно определяет отношение Запада к "незападным" культурам,
когда зачастую открытия, сделанные ими, выдаются за наши собственные.
Совершенно очевидно, что Запад весьма нетороплив с точки зрения признания
тех значительных открытий, которые сделаны "незападными" математиками.
Мадхава не единственный, кто пострадал подобным образом.
По мере того, как в 18-19-м веке отношения между Западом и Востоком
становились все более тесными,
широко распространенной практикой было пренебрежение и унижение
колонизируемых культур.
Считалось, что местное население не может предложить Западу ничего,
что имело бы хоть какую-то интеллектуальную ценность.
Только сейчас, в начале двадцать первого столетия,
этот фрагмент истории переписывают заново.
Однако, влияние восточной математики на Европу было весьма значительным
благодаря развитию одной из ведущих держав
средневекового мира.
В 7-ом столетии на территории Средней Азии
начала расти новая империя.
Учение пророка Магомета
способствовало созданию обширного и мощного Арабского халифата,
который уже через короткий срок простирался от Индии на востоке
до Марокко, где мы сейчас находимся, на западе.
В сердце этой империи развивалась живая, интеллектуальная культура.
В Багдаде были основаны огромная библиотека и образовательный центр.
Он назывался Домом Мудрости, и его влияние распространялось
на всю территорию Арабского халифата,
достигая школ, вроде этой, расположенной в городе Фес.
Список изучаемых предметов включал в себя астрономию, медицину,
химию, зоологию
и математику.
Исламские ученые собирали и переводили множество древних текстов,
успешно сохраняя их для потомков.
На самом деле, без их непосредственного участия мы могли никогда не узнать
о древних культурах Египта, Междуречья, Греции и Индии.
Однако, ученые Дома Мудрости не ограничивались
лишь переводом трудов других математиков.
Им хотелось создать свою собственную математику,
чтобы продолжить развитие науки.
Подобное стремление к интеллектуальному познанию активно поощрялось
в течение первых веков существования Арабского халифата.
Коран подчеркивал важность знания.
Образование было ни чем иным, как божественной заповедью.
Для оправления ислама требовались математические навыки.
Праведный мусульманин должен был рассчитать время молитвы
и расположение Мекки, чтобы обращаться с молитвой именно в этом направлении.
Из-за запрета на изображение человеческих фигур
для росписи зданий художникам приходилось использовать
огромное количество геометрических орнаментов.
Художники-мусульмане открыли все возможные виды симметрии,
которые можно изобразить на двумерной поверхности.
Во главе багдадского Дома Мудрости
стоял персидский ученый Мухаммед аль-Хорезми.
Аль-Хорезми был выдающимся математиком, и его заслугой было
ознакомление Запада с двумя ключевыми математическими концепциями.
Аль-Хорезми распознал тот невероятный потенциал,
благодаря которому индийская система записи чисел должна была произвести
коренной переворот в математике и науке.
Его труд, который разъяснял - каким образом такая система
позволяет ускорить вычисления и повысить эффективность работы -
произвел такое впечатление, что через очень короткий срок
индийские цифры стали предпочтительными среди математиков арабского мира.
В наше время, эти цифры известны
как "арабские".
Именно эти цифры - от единицы до девяти и ноль -
используются в наши дни по всему миру.
Однако аль-Хорезми также создал совершенно новый математический язык.
Он был назван алгеброй
по названию его книги "Ал-джабр ва-л-мукабала",
в переводе - "Вычисления путем восполнения и противопоставления".
Алгебра представляет собой правила, лежащие в основе работы с числами.
Это язык, который объясняет закономерности,
стоящие за поведением чисел.
Она немного похожа на исходный код компьютерной программы.
Этот код будет работать вне зависимости от чисел, которые будут введены в программу.
Например, математики могли заметить,
что если возвести число в квадрат,
то результат всегда будет на единицу больше,
чем произведение двух соседних с исходным чисел.
К примеру, пятью пять равно 25,
что на единицу больше, чем четыре, умноженное на шесть - 24.
Шестью шесть на единицу больше, чем пять, умноженное на семь, и так далее.
Но как можно быть уверенным в том,
что это правило действует независимо от того, какие числа вы возьмёте?
Чтобы объяснить принцип, лежащий в основе этих вычислений,
мы воспользуемся бассейнами с краской, расположенными на сыромятне.
Если выбрать квадрат из 25 бассейнов размерами пять на пять,
убрать один из столбцов и добавить эти пять бассейнов в нижний ряд,
то получится прямоугольник шесть на четыре плюс ещё один бассейн.
Но сколько бы бассейнов ни составляли сторону квадрата,
всегда можно точно так же переместить один из столбцов вниз
и получить прямоугольник и ещё один бассейн в стороне.
Появление алгебры было гигантским прорывом.
Это был новый язык
для анализа принципов действий над числами.
До его появления индийские и китайские математики
рассматривали лишь отдельные специфические задачи,
а аль-Хорезми совершил переход от частного к общему.
Он разработал принципы, пригодные для анализа задач
и получения решений, не зависящих от конкретных исходных данных.
Язык алгебры используется всеми математиками современности.
Значение труда аль-Хорезми выяснилось, когда он применил методы алгебры
к описанию квадратных уравнений,
т.е. уравнений, содержащих переменные во второй степени.
В древней Месопотамии ранее был изобретён
изящный способ решения некоторых квадратных уравнений,
но именно абстрактный язык алгебры аль-Хорезми
позволил убедительно показать универсальный характер этого способа.
Этот принципиальный скачок
в конечном итоге должен был привести к методу решения
любых квадратных уравнений с произвольными коэффициентами.
Следующим математическим "Святым Граалем"
был общий метод решения любых кубических уравнений -
т.е. уравнений с переменными в третьей степени.
За решение этой задачи
взялся персидский математик, живший в ХI веке.
Его звали Омар Хайям, и он много путешествовал
по Среднему Востоку, попутно занимаясь вычислениями.
Однако, свою известность он приобрел по совершенно другой причине.
Хайям был выдающимся поэтом,
автором множества эпических четверостиший - рубаи.
Может показаться странным, что поэт был также искусным математиком.
Всё же, подобная комбинация не часто приходит в голову.
Тем не менее, эти дисциплины имеют между собой много общего.
Поэзия с её структурой стиха и ритмическим рисунком
имеет много общего с построением логичного математического доказательства.
Главный математический труд Хайяма
был посвящен поиску общего метода для решения кубических уравнений.
Вместо того, чтобы разбирать отдельные примеры,
Хайям подошел к анализу проблемы систематически,
в истинно алгебраическом духе трудов аль-Хорезми.
Анализ Хайяма прежде всего позволил выявить тот факт,
что существует несколько типов кубических уравнений.
Но он всё ещё был подвержен сильному влиянию
геометрического наследия греков.
Поэтому он не смог отделить алгебру от геометрии.
Фактически, он даже не рассматривал уравнения высших степеней,
так как они описывали объекты с размерностью больше трёх,
что он полагал невозможным.
Хотя геометрический подход позволил ему в какой-то степени
провести анализ кубических уравнений,
ему не удавалось вывести полностью алгебраическое решение.
Пройдет еще 500 лет, прежде чем математики смогут совершить прорыв
и найти общее решение кубического уравнения.
И этот прорыв будет сделан на Западе - в Италии.
В то же самое время, когда Китай, Индия и Арабский халифат
переживали эпоху расцвета,
Европа пребывала под мрачной тенью Тёмных веков.
Вся интеллектуальная деятельность, включая изучение математики, находилась в упадке.
Однако, к 13-му столетию ситуация начала меняться.
Следуя примеру Италии, Европа начала изучать Восток и торговать с ним.
Благодаря этим контактам знания Востока начали распространяться на Западе.
Первым великим европейским математиком средневековья
стал сын служителя таможни.
В детстве он вместе с отцом путешествовал по Северной Африке,
где изучил достижения арабской математики,
в особенности, преимущества индийско-арабской цифровой записи.
По возвращении домой, в Италию, он написал книгу,
которая оказала огромное влияние
на развитие западной математики.
Этим математиком был Леонардо из Пизы,
более известный, как Фибоначчи.
В своей "Книге вычислений"
он изложил новую систему записи чисел,
и показал - насколько проще она была по сравнению с римской системой,
которой тогда пользовались в Европе.
Упрощение вычислений повлекло огромные последствия
для множества людей, которые имели дело с расчётами, -
то есть, почти всех - от математиков до торговцев.
Однако, многие люди не доверяли новому счёту.
Привычное отмирает медленно, и власти также не доверяли новой системе.
Кто-то считал, что новые цифры откроют дорогу
мошенничеству и обману.
Другие полагали, что считать станет настолько легко, что простой народ
сможет отнять власть у интеллигенции,
которая умела пользоваться только старой системой.
В 1299 году во Флоренции новые цифры даже были запрещены.
Однако, со временем здравый смысл восторжествовал:
новая система распространилась по всей Европе,
а старая римская система постепенно вышла из употребления.
Индийско-арабские цифры все-таки победили!
В наши дни Фибоначчи более известен благодаря открытию им рядов чисел,
названных числами Фибоначчи. Это произошло, когда он пытался
решить задачу об особенностях разведения кроликов.
Допустим, у крестьянина есть пара кроликов.
Кроликам требуется два месяца, чтобы достичь зрелости,
после чего каждый месяц они производят на свет еще пару кроликов.
Задача состоит в том, чтобы определить
количество пар кроликов в любой заданный месяц.
Итак, в течение первого месяца имеется одна пара кроликов,
и до тех пор пока они не достигли зрелости, они не могут размножаться.
В течение второго месяца, здесь всё ещё лишь одна пара.
Но в начале третьего месяца первая пара
впервые даёт потомство, и поэтому у нас стало две пары кроликов.
В начале четвёртого месяца,
первая пара снова даёт приплод,
но вторая пара еще недостаточно зрелая, так что у нас три пары.
В пятый месяц у первой пары вновь появляются крольчата,
и впервые появляется потомство у второй пары.
Однако третья пара слишком молода, так что здесь пять пар.
Ритуал спаривания продолжается,
и вскоре вы понимаете,
что количество пар кроликов в любом месяце
является суммой их количества
в каждом из двух предыдущих месяцев, так что последовательность выглядит как...
1...1...2...3...
5...8...13...
21...34...55... и так далее.
Числа Фибоначчи - это любимые числа природы.
Их можно обнаружить не только в задаче о кроликах.
Количество лепестков цветка - это всегда число Фибоначчи.
Числам Фибоначчи соответствует количество завязей на соплодии ананаса,
и они же определяют закономерность роста раковины улитки.
Где бы вы не нашли в природе рост, вы обнаружите и числа Фибоначчи.
Следующее важное достижение европейской математики
произойдет только в начале 16-го века.
Оно будет связано
с поиском общего способа решения кубических уравнений,
и это произойдет здесь - в итальянском городе Болонья.
В начале 16-го века университет Болоньи был плавильным котлом
европейской математической мысли.
Студенты со всей Европы приезжали сюда и развивали
новую форму зрелищного вида спорта - состязание математиков.
Толпы зрителей стекались посмотреть как математики
вызывают друг друга с помощью чисел на что-то вроде интеллектуального поединка.
Но даже в такой полной вопросов атмосфере,
существовало убеждение, что некоторые задачи не имеют решения.
Было принято считать, что найти общий метод
решения всех кубических уравнений невозможно.
Тем не менее, один из студентов взялся доказать, что все ошибались.
Его звали Тарталья,
и он совершенно не был похож
на дерзновенного творца новой математики.
В возрасте двенадцати лет, жестокие французские вояки
полоснули его по лицу саблей.
В результате остались ужасный шрам
и существенно мешающее ему заикание.
На самом деле Тарталья - это было прозвище, которое ему дали в детстве,
оно означает "заика".
Отвергнутый своими однокашниками,
Тарталья полностью посвятил себя математике, и через короткий срок
вывел формулу для решения одного вида кубического уравнения.
Однако, совсем скоро Тарталья обнаружил:
он не один уверен, что решение кубических уравнений найдено.
Молодой итальянец по имени Фиор хвастался,
что он тоже знает секрет формулы для решения кубических уравнений.
Когда распространилось известие об открытиях,
сделанных двумя математиками,
между ними было назначено состязание.
Интеллектуальный поединок столетия должен был состояться совсем скоро.
Однако, у Тартальи была проблема, которая заключалась в том, что он
знал как решать лишь один вид кубического уравнения,
а Фиор собирался преложить ему
решить другой тип.
Всего за несколько дней до состязания
Тарталья понял, как решать этот другой тип,
и, имея в своем арсенале новое оружие, он победил своего соперника,
потратив на все задачи менее двух часов.
Тарталья продолжал двигаться дальше
в поиске общего метода решения кубических уравнений.
Новость распространилась быстро, и миланский математик
по имени Кардано, который уже отчаялся найти решение,
уговорил сопротивляющегося Тарталью раскрыть секрет,
однако при условии,
что Кардано сохранит его в тайне и никогда не опубликует.
Однако Кардано не смог устоять,
обсуждая решение Тартальи со своим очень талантливым студентом, Феррари.
Когда Феррари полностью уяснил суть работы Тартальи,
он понял, что её можно использовать для решения
более сложного уравнения четвертой степени, и это удивительное достижение!
Кардано не смог отказать своему студенту в его заслуженной награде,
и нарушил обещание сохранить тайну, опубликовав труд Тартальи,
вместе с блестящим решением уравнения четвертой степени Феррари.
Бедный Тарталья не смог оправиться и умер в нищете,
а формула для решения кубического уравнения и по сей день
известна как "формула Кардано".
Тарталья, возможно, и не заслужил при жизни славы,
но он справился с решением проблемы, которая поставила в тупик
великих математиков Китая, Индии и арабского мира.
Это был первое значительное математическое достижение,
которое имело место в современной Европе.
Теперь в распоряжении европейцев был новый язык алгебры,
эффективные методы индийско-арабского счёта
и начальные знания для овладения понятием бесконечности.
Для западного мира пришло время
приступить к написанию собственной истории математики
на языке Востока.
Мир стоял на пороге математической революции.
Об истории математики можно узнать больше на сайте Открытого университета
www.open2.net
Тайминг MVGroup.org Перевод Truetranslate.tv Редакторы Irina73, IamCrazy, Betelgeuse_990, cepylka, petrosimon, kot_xydozhnika, gromitt
Переведено на сайте www.notabenoid.com Переводчики: Betelgeuse_990, tiunoff, petrosimon, katpyxa, notreallyalex, Irina73